[論文レビュー] Geometry of the Motion of Ideal Fluids and Rigid Bodies

S. G. Rajeev|ArXiv.org|May 31, 2009

Advanced Differential Geometry Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、理想流体と剛体の運動を、体積保存微分同相群（流体）および回転群 SO(3)（剛体）上の無限次元リー群における測地線流れとして、左不変なリーマン計量を用いて幾何学的に再定式化する。これらの幾何構造における負の断面曲率が力学的不安定性を引き起こすことを示し、流体の乱流に関するアーノルドの結果を回復するとともに、薄い円柱形剛体の運動に対しても類似した不安定性を明らかにする。

ABSTRACT

Arnold pointed out that the Euler equation of incompressible ideal hydrodynamics describes geodesics on the group of volume-preserving diffeomorphisms. A simple analogue is the Euler equation for a rigid body, which is the geodesic equation on the rotation group with respect to a metric determined by the moment of inertia. The metric on the group is left-invariant but not right-invariant. We will reduce the geometry of such groups (using techniques popularized by Milnor) to algebra on their tangent space. In particular, the curvature can be expressed as a biquadratic form on the Lie algebra. Arnold's result that motion of incompressible fluids has instabilities (due to the sectional curvature being negative) can be recovered more simply. Surprisingly, such an instability arises in rigid body mechanics as well: the metric on SO(3) corresponding to the moment of inertia of a thin cylinder (coin) has negative sectional curvature in one tangent plane. Both ideal fluids and rigid bodies can be thought of as hamiltonian systems with a quadratic hamiltonian, but whose Poisson brackets are those of a non-nilpotent Lie algebra. We will also describe a different point of view towards three dimensional incompressible flow in terms of the Clebsch parametrization. In this picture, the Poisson brackets are represented canonically. The hamiltonian is represented by a quartic function. This is meant mainly as an expository article, aimed at a mathematical audience familiar with physics. Based on Lectures at the Chennai Mathematical Institute and the University of Connecticut.

研究の動機と目的

• リーマン幾何学的枠組みを用いて、理想流体および剛体運動の幾何的記述を統一すること。
• 微分同相群の曲率解析を通じて、理想流体の流れにおける不安定性の起源を解明すること。
• この幾何的視点を剛体運動に拡張し、非球形物体における類似した不安定性を明らかにすること。
• ミルナーの技法を用いて、無限次元の幾何的問題をリー代数上の代数的問題に還元すること。
• 3次元非圧縮流体のための代替的定式化、例えばクリーブシュパラメータ化を用いた、正準ポアソン括弧と四次ハミルトニアンを有する定式化を検討すること。

提案手法

• 流体に対しては体積保存微分同相群、剛体に対しては SO(3) を用い、左不変なリーマン計量を備えた群上での測地線として流体および剛体運動をモデル化する。
• 物質微分および加速度を定義するために、リー微分およびレヴィチビタ接続を用いる。
• ホッジ分解を用いて、ベクトル場を発散なし（接線成分）および勾配成分（縦成分）に直交分解する。
• $L^2$内積および横断的射影を用いて、微分同相群のリーマン曲率テンソルをリー代数上の双二次形式として表現する。
• 共変微分を発散なしベクトル場の接空間に射影することにより、オイラー方程式を測地線方程式として導出する。
• 測地線の曲率を、平均化されたリーマン曲率形式 $\bar{r}(u,v)$ および計量の横断的および縦成分を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理想流体の運動は、体積保存微分同相群上の測地線流れとしてどのように解釈できるか？
• RQ2 曲率が理想流体の流れの不安定性に果たす役割は何か。特に負の断面曲率とどのように関係するか？
• RQ3 非球形物体に対して、剛体運動において類似した不安定性機構が存在するか？
• RQ4 無限次元微分同相群の幾何は、リー代数上の代数的構造に還元可能か？
• RQ5 クリーブシュパラメータ化は、非圧縮流体の流れを正準ポアソン括弧と四次ハミルトニアンを有するハミルトニアン系としてどのように再定式化するか？

主な発見

• 非圧縮理想流体のオイラー方程式は、$L^2$-に基づく左不変計量を備えた体積保存微分同相群上の測地線方程式と等価である。
• アーノルドが示したように、微分同相群における負の断面曲率は力学的不安定性を示唆するが、本稿では曲率解析を通じてこれを再確認する。
• 薄い円柱形剛体（コイン）は、SO(3) のある接平面において負の断面曲率を示し、剛体運動における以前に認識されていなかった不安定性を示している。
• 微分同相群の曲率は、基底多様体の曲率および計量の横断的・縦成分の寄与を含むリー代数上の双二次形式として表現される。
• リーマン曲率テンソルは、基底多様体の曲率および $L^2$ 計量の $T$ および $S$ 成分を含む項に分解され、平坦な多様体（たとえばトーラス）上での明示的計算が可能になる。
• クリーブシュパラメータ化により、非圧縮流体の流れは四次ハミルトニアンと正準ポアソン括弧を有するハミルトニアン系として再定式化され、流体力学の別の幾何的視点が得られる。