[論文レビュー] Geometry of the vacant set left by random walk on random graphs, Wright's constants, and critical random graphs with prescribed degrees

Shankar Bhamidi, Sanchayan Sen|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 55被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、所定の次数列を持つ一様な単純連結ランダムグラフをサンプリングする明示的なアルゴリズムを提示し、有限の3次のモーメント条件の下で、このようなグラフおよびその距離構造の連続的スケーリング極限を可能にする。主な貢献は、ランダム正則グラフ上のランダムウォークが残す空集合における最大成分の距離空間スケーリング極限の同定であり、Wrightの定数と臨界ランダムグラフ理論を用いて、ČernýとTeixeiraが提起した疑問を解決する。

ABSTRACT

We provide an explicit algorithm for sampling a uniform simple connected random graph with a given degree sequence. By products of this central result include: (i) continuum scaling limits of uniform simple connected graphs with given degree sequence and asymptotics for the number of simple connected graphs with given degree sequence under some regularity conditions, and (ii) scaling limits for the metric space structure of the maximal components in the critical regime of both the configuration model and the uniform simple random graph model with prescribed degree sequence under finite third moment assumption on the degree sequence. As a substantive application we answer a question raised by Cerny and Teixeira by obtaining the metric space scaling limit of maximal components in the vacant set left by random walks on random regular graphs.

研究の動機と目的

• 所定の次数列を持つ一様な単純連結ランダムグラフを生成する明示的なアルゴリズムの開発。
• 所定の次数列を持つ臨界ランダムグラフの最大成分の距離空間構造の連続的スケーリング極限の確立。
• ランダム正則グラフ上のランダムウォークの空集合における最大成分の距離空間スケーリング極限に関するČernýとTeixeiraの疑問の解決。
• 正則性条件の下で、所定の次数列を持つ単純連結グラフの数の漸近的評価の導出。
• Wrightの定数と臨界グラフモデルを用いて、ランダムグラフ上の空集合ダイナミクスをErdős-Rényi普遍性クラスと関連付ける。

提案手法

• 次数列が与えられた条件下での連結グラフの条件付き一様生成に基づく、新規の拒否サンプリングアルゴリズムの提案。
• 構成モデルを基盤として用い、連結性および単純性の条件を課して一様な連結グラフを生成。
• 乗法的コアレスセント理論およびGromov-Hausdorff収束理論を用い、臨界領域における成分の距離空間スケーリング極限を導出。
• Wrightの定数を用いて、臨界窓における空集合の次数分布の極限を特徴付ける。
• 空集合グラフの次数列が、漸近的数え上げを用いて、$ \mathbb{P}(D_{\text{vac}} = i) $ を満たす極限確率変数 $ D_{\text{vac}} $ に分布収束することを確立。
• 次数列上のアンネールド測度を用いて、空集合グラフ過程と構成モデルを結合し、スケーリング極限の転送を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム正則グラフ上のランダムウォークが残す空集合における最大成分のスケーリング極限は何か、臨界領域において。
• RQ2 所定の次数列を持つ一様な単純連結ランダムグラフを明示的にどのようにサンプリングできるか。
• RQ3 正則性条件の下で、所定の次数列を持つ単純連結グラフの数の漸近的評価は何か。
• RQ4 有限の3次のモーメント仮定の下で、所定の次数列を持つ臨界ランダムグラフの距離空間構造はどのように収束するか。
• RQ5 ランダムグラフ上の空集合ダイナミクスは、どの程度Erdős-Rényi普遍性クラスに属するか。

主な発見

• 所定の次数列を持つ一様な単純連結ランダムグラフをサンプリングする明示的なアルゴリズムが提示され、緩い正則性条件のもとで有効である。
• 有限の3次のモーメント仮定の下で、Wrightの定数を含む漸近公式が、所定の次数列を持つ単純連結グラフの数に適用可能である。
• 所定の次数列を持つ臨界構成モデルにおける最大成分の距離空間スケーリング極限は、Gromov-Hausdorff位相においてブラウン運動連続的ランダム木に収束する。
• ランダム正則グラフ上のランダムウォークによって得られる空集合グラフは、Wrightの定数によって特徴付けられる極限次数分布 $ D_{\text{vac}} $ を持つ臨界ランダムグラフモデルに分布収束する。
• 空集合グラフの次数列は $ D_{\text{vac}} $ に分布収束し、$ \mathbb{P}(D_{\text{vac}} = i) $ は漸近的数え上げを用いて明示的に決定される。
• ランダム正則グラフ上の空集合成分のスケーリング極限は、Erdős-Rényiモデルと同一の普遍的極限であることが同定され、臨界領域における普遍性が確認された。