[論文レビュー] Geometry of the Weil-Petersson completion of Teichmüller space

Scott A. Wolpert|ArXiv.org|Feb 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 92

ひとこと要約

本稿は、テイヒミュラー空間の完備化におけるウェイリ・ペテルスン（WP）測度の大規模幾何を調査し、WP測地線が層構造を越えて屈折しないこと——層の変化は端点でのみ起こること——を確立することで、非屈折的構造を明らかにしている。主な結果として、WP測地線と非可約写像類の軸は、漸近的であるか、あるいは発散的であることが示され、テイヒミュラー空間のランクおよびWP測度における双曲的性に影響を及ぼす。

ABSTRACT

We present a view of the current understanding of the geometry of Weil-Petersson (WP) geodesics on the completion of the Teichmüller space. We sketch a collection of results by other authors and then proceed to develop the properties of the WP CAT(0) geometry. Our approach includes a simplified proof of the Masur-Wolf theorem, a classification of flats and of geodesic limits.

研究の動機と目的

• ウェイリ・ペテルスン測地線のテイヒミュラー空間の完備化における大規模幾何的挙動を理解すること。
• WP測地線と拡張テイヒミュラー空間の層構造との相互作用を分析すること。
• 測地線の放射と非可約写像類の軸の漸近的挙動を特定すること。
• 準等長的モデルを用いて、WP測度下でのテイヒミュラー空間のランクを調査すること。
• WP幾何学を用いて、写像類群作用に及ぼされる幾何的制約を確立すること。

提案手法

• テイヒミュラー空間上のケーラー的で負に曲がったリーマン計量としてのウェイリ・ペテルスン測度を用いる。
• WP測度の完備化を適用し、ノード付きリーマン面の層構造を持つ空間として拡張テイヒミュラー空間を定義する。
• WPテイヒミュラー空間の準等長的モデルとしてパンツグラフ $C_{\textbf{P}}(F)$ を用い、組合せ論と幾何学を結びつける。
• コンパクト部分集合における測地線長関数の凸性と曲率の上限を用いて、測地線距離を分析する。
• ジャコビ場の解析と曲率推定を用いて、測地線間の距離関数の凸性の下界を導出する。
• CAT(0)空間理論と周期的等長写像の固定点定理を応用し、軸の挙動と漸近的性質を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WP測地線は、拡張テイヒミュラー空間の層構造をどのように越えるか？
• RQ2 WP測地線の放射と非可約写像類の軸との間の漸近的関係は何か？
• RQ3 テイヒミュラー空間上のWP測度は、どの程度グロモフ双曲的か？
• RQ4 WP距離はパンツグラフのような組合せ的構造とどのように関係するか？
• RQ5 WP完備化されたテイヒミュラー空間における準フラットの最大次元は何か？

主な発見

• WP測地線は層を越えて屈折しない。層の変化は端点でのみ起こり、これを非屈折性と呼ぶ。
• 測地線の放射と非可約写像類の軸との間の距離は、恒等的にゼロ（漸近的）または無限大に発散する（発散的）のいずれかである。
• 二つの非可約写像類の軸は、同一であるか、あるいは発散的であり、中間の漸近的挙動は存在しない。
• 複素次元が2より大きい場合、テイヒミュラー空間のWP完備化はグロモフ双曲的でない。これは、高ランクの準フラットが存在するためである。
• WP測度下でのテイヒミュラー空間のランクは、パンツグラフの準等長的モデルから得られる $g - 1 + \big\rfloor\frac{g+n}{2}\big\rfloor$ で有界である。
• WP測度の完備化は、拡張テイヒミュラー空間に等長的であり、各層はWP測度を伴う低次元のテイヒミュラー空間として等長的に埋め込まれる。