[論文レビュー] Geometry of three manifolds and existence of Black Hole due to boundary effect

Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|Sep 7, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界の平均曲率が強い影響を及える場合に、3次元時空的超曲面内で、ブラックホール形成を示す「見かけの事象線」が生じる幾何的条件を確立する。境界の平均曲率、スカラー曲率、エネルギー運動量制約の相乗的相互作用を分析することで、境界の平均曲率が第二基本形式のトレースを正の余地で上回る場合、かつ領域の径方向サイズと有効エネルギー密度が十分に大きい場合、内部に見かけの事象線が形成されると証明する。これは、強い境界効果のもとで負の物質密度が存在しても成立する。

ABSTRACT

In this paper, we observe that the brane functional studied in hep-th/9910245 can be used to generalize some of the works that Schoen and I [4] did many years ago. The key idea is that if a three dimensional manifold M has a boundary with strongly positive mean curvature, the effect of this mean curvature can influence the internal geometry of M. For example, if the scalar curvature of M is greater than certain constant related to this boundary effect, no incompressible surface of higher genus can exist.

研究の動機と目的

• 3次元多様体における境界幾何が内部の曲率と位相に与える影響を調査すること。
• 見かけの事象線（ブラックホール存在の鍵）が、内部の質量に起因するのではなく、境界効果に起因して形成される条件を特定すること。
• Schoen-YauおよびMeeks-Simon-Yauの不変曲面に関する結果を、境界の平均曲率制約を組み込むことで一般化すること。
• 境界曲率とエネルギー運動量データを用いた、時空的超曲面におけるブラックホール形成の幾何的基準を確立すること。

提案手法

• 所定の基本群の像を持つ曲面の上でのエネルギーと境界結合項を含む汎関数を最小化する。
• 変分法と第二変分公式を用いて、一定平均曲率曲面の安定性条件を導出する。
• ガウス方程式とリッチ曲率分解を用いて、安定曲面上でのスカラー曲率、ガウス曲率、第二基本形式の関係を関係づける。
• 共形変形技術を用いて境界の平均曲率を保ちつつスカラー曲率を調整し、ヤマベ問題を活用する。
• 線形化平均曲率作用素を分析して、核の条件の下での解の存在を決定する。
• 距離関数のバリアを用いて下解と上解を構成し、グラフ方程式のディリクレ問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多様体の境界にどのような幾何的条件が満たされると、内部に見かけの事象線が形成されるか？
• RQ2 境界の平均曲率が強く正である場合、高 genus の不変曲面の存在は排除できるか？
• RQ3 境界の平均曲率と第二基本形式のトレースとの差が、ブラックホール形成にどのように影響するか？
• RQ4 境界曲率効果が十分に強い場合、負のエネルギー密度であってもブラックホール形成が可能か？
• RQ5 多様体の径方向サイズは、見かけの事象線の存在にどのように寄与するか？

主な発見

• 3次元多様体のスカラー曲率が $ R_M + \frac{3}{2}c^2 \geq 0 $ を満たすならば、任意の安定的で向き付け可能な曲面 $ \Sigma $ に対して、$ \chi(\Sigma) \leq 0 $ ならば $ \chi(\Sigma) = 0 $ かつその曲面上で $ R_M + \frac{3}{2}c^2 = 0 $ が成立する。
• 安定的曲面で $ \chi(\Sigma) = 0 $（トーラス）は、$ R_M + \frac{3}{2}c^2 > 0 $ の場合に存在できない。これは共形変形のもとでも保存される。
• $ R_M + \frac{3}{2}c^2 = 0 $ のとき、多様体はアインシュタイン多様体でなければならない。さらに線形化平均曲率作用素の核が存在しない場合、一定平均曲率を持つ安定的曲面が存在する。
• 線形化作用素に非自明な核が存在する場合、曲面は万方向等曲率であり、$ K_\Sigma \geq 0 $ が成り立ち、等号成立は曲面が完全に万方向等曲率である場合に限る。
• 主たる結果、定理5.2は、$ \text{Rad}(M) \geq \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{\pi}{\sqrt{\Lambda}} $ かつ $ \Lambda = \frac{2}{3}c^2 + \mu - |J| $ のとき、内部に見かけの事象線が形成されると証明する。これは $ \mu < 0 $ であっても成り立ち、$ c > 0 $ であれば成立する。
• 境界効果、特に $ H - |\text{tr}_{\partial M}(p)| \geq c > 0 $ が、内部の質量密度とは独立してブラックホール形成を引き起こすのに十分である。