[論文レビュー] Geometry of Topological Defects of Two-dimensional Sigma Models

Anton Kapustin, Kevin Setter|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元 (0,1) および (0,2) スーパーシンメトリー的ゼータモデルにおける位相的欠陥を幾何学的枠組みで扱う。そのために、部分多様体 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ と $Y$ 上の閉2形式 $F$ からなるペア $(Y, F)$ を導入し、これを「位相的バイブレーン」と呼ぶ。この枠組みにより、超共形対称性を保存する欠陥を特徴づける。一般化幾何学を用いて、このような欠陥が $X \times \widehat{X}$ 上の一般化計量のもとで $F$-回転された $Y$ の一般化接束の安定化によって特徴づけられることを示し、シンプレクティック幾何学における A-ブレーンの類似を中性符号型の標的空間へと拡張する。

ABSTRACT

A topological defect separating a pair of two-dimensional CFTs is a codimension one interface along which all components of the stress-energy tensor glue continuously. We study topological defects of the bosonic, (0,1)- and (0,2)-supersymmetric sigma models in two dimensions. We find a geometric classification of such defects closely analogous to that of A-branes of symplectic manifolds, with the role of symplectic form played instead by a neutral signature metric. Alternatively, we find a compact description in terms of a generalized metric on the product of the targets. In the (0,1) case, we describe the target space geometry of a bundle in which the fermions along the defect take values. In the (0,2) case, we describe the defects as being simultaneously A-branes and B-branes.

研究の動機と目的

• フェルミオン的境界条件のため、境界を伴わない (0,1) および (0,2) 二次元ゼータモデルにおける超対称的欠陥を特徴づけること。
• 欠陥世界面 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ およびラインバンドル接続 $F$ が超共形対称性を保存するための幾何的条件を同定すること。
• 一般化幾何学を用いて、シンプレクティック幾何学における A-ブレーン構成を中性符号型の標的空間へと一般化すること。
• グラフ的等Isoメトリーおよび「半パラケーラー」欠陥といった特別なクラスの欠陥を、ラグランジュ的および空間を満たす A-ブレーンの類似物として特定すること。
• このような欠陥が、異なる世界面領域におけるゼータモデル理論間の双対性を実装する役割を果たすかを検討すること。

提案手法

• 欠陥を、$\Sigma$ および $\widehat{\Sigma}$ 上の2つの異なる conformal field theories (CFTs) が、部分多様体 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ と閉2形式 $F$ からなるバイブレーン $(Y, F)$ を介して接合される1次元部分多様体 $D$ として定義する。
• 中性符号型計量 $G = g \oplus -\widehat{g}$ を $X \times \widehat{X}$ 上に導入し、$G$ に関するコイソトロピック部分多様体として A-ブレーン条件を一般化する。
• ヒチンの一般化幾何学を用いて、位相的バイブレーンを、$X \times \widehat{X}$ 上の一般化計量のもとで $F$-回転された $Y$ の一般化接束が安定化されることによって特徴づける。
• $\widetilde{\mathcal{R}}_+$ を $\widetilde{G}^{-1}\widetilde{F}$ の +1 固有空間とし、$\mathcal{R}_+ = (TY)^\perp \oplus \widetilde{\mathcal{R}}_+$ を導入し、その pullback 計量に関してラグランジュ的であることを示す。
• コシュールの公式を用いて可積分性条件を確立し、$dF = 0$ のとき $\mathcal{R}_+$ が $TY$ に対して $\nabla$-平行であることを証明する。
• フェルミオン場を組み込むために $R$-行列条件 $R^I_J \psi_+^J = \psi_+^I$ を課し、$\mathcal{R}_+$ の等方性によりフェルミオン的変動項 $G_{IJ}\psi_+^I \delta^{\rm cov}\psi_+^J$ が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分多様体 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ および閉2形式 $F$ に対して、(0,1) および (0,2) ゼータモデルにおける超共形対称性を保存するための幾何的条件は何か？
• RQ2 シンプレクティック幾何学における A-ブレーン構成を、一般化幾何学を用いて中性符号型の標的空間へとどのように一般化できるか？
• RQ3 (0,1) および (0,2) ゼータモデルにおけるラグランジュ的および空間を満たす A-ブレーンの類似物は何か？
• RQ4 どの条件下で欠陥理論が位相的であるか、すなわち $H$, $P$, $Q_+$ の保存量が保存されるか？
• RQ5 どの位相的バイブレーンが $\Sigma$ および $\widehat{\Sigma}$ 上のゼータモデル理論間の双対性を実装するか？

主な発見

• 位相的バイブレーンは、$X \times \widehat{X}$ 上の一般化計量のもとで $F$-回転された $Y$ の一般化接束の安定化によって特徴づけられ、一般化幾何学における統一的な幾何的条件を提供する。
• $\mathcal{R}_+ \subseteq e^*TM$ は pullback 計量に関してラグランジュ的であり、$dF = 0$ かつ $\mathcal{R}_+$ が可積分であるとき $\nabla$-平行である。
• フェルミオン的変動項 $G_{IJ}\psi_+^I \delta^{\rm cov}\psi_+^J$ は $\mathcal{R}_+$ の等方性により消えるため、フェルミオン的接合条件の整合性が保証される。
• 欠陥幾何学は $Y$ が中性符号型計量 $G = g \oplus -\widehat{g}$ に関してコイソトロピックでなければならないことを要請し、A-ブレーンのコイソトロピー条件を一般化する。
• 特別なクラスの欠陥である「等Isoメトリーのグラフ」と「半パラケーラー」欠陥は、それぞれラグランジュ的および空間を満たす A-ブレーンの類似物に対応する。
• $\dim \widetilde{\mathcal{R}}_+ = \dim \widetilde{\mathcal{R}}_- = k - n$ が成り立つ。ここで $k = \dim Y$, $n = \dim X = \dim \widehat{X}$ であり、コイソトロピー性により $k \geq n$ である。