[論文レビュー] Geometry of Two-dimensional Self-shrinkers

Lu Wang|arXiv (Cornell University)|May 1, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は原点から離れた領域における2次元自己収縮体の局所的グラフ的定理を確立し、平均曲率が小さく、第二基本形式が有界である条件下で、表面が小さい勾配を持つ局所的グラフであることを証明する。応用として、平均曲率が有界で局所的に有限な genus を持つ非コンパクト自己収縮体に対して第二基本形式の一様有界性を示し、有限 genus を持つ非コンパクト自己収縮体が無限遠で漸近的に円筒または錐体の振る舞いを示すことを確認する。

ABSTRACT

We prove a local graphical theorem for two-dimensional self-shrinkers away from the origin. As applications, we study the asymptotic behavior of noncompact self-shrinkers with finite genus. Also, we show uniform boundedness on the second fundamental form of two-dimensional noncompact self-shrinkers with bounded mean curvature and uniform locally finite genus.

研究の動機と目的

• 原点から離れた領域における2次元自己収縮体の局所的グラフ的分解定理を確立し、漸近幾何の解析を可能にする。
• 有限 genus を持つ非コンパクト自己収縮体の漸近的構造に関する予想1.1に取り組み、特に無限遠での錐体または円筒への収束を特定する。
• 平均曲率が有界で局所的に有限な genus を持つ非コンパクト2次元自己収縮体に対して、第二基本形式の一様有界性を証明する。
• 適切な条件下で、平行移動された自己収縮体が平面または円筒に滑らかに収束することを確認する。これは予想1.2が満たされることを意味する。
• 最大原理の議論と幾何的解析を用いて、漸近的領域でカタネイド型の極限形状が生じないことを排除する。

提案手法

• 平均曲率が小さく、第二基本形式の$L^2$ノルムが有界である条件下で、局所的グラフ的定理（定理1.3）を確立する。
• ブートストラップ法を用い、径方向を平均曲率流れにおいて空間的および時間的側面の両方として持つ双対スケーリング性を活用する。
• Brakkeのコンパクトネス定理とWhiteのストラティフィケーション定理を適用し、総曲率が有限な最小曲面に収束する部分列を抽出する。
• 総曲率が有限でgenusが0の最小曲面の分類定理を用いて、極限最小曲面をカタネイドと特定する。
• $|\mathbf{x}|^2$ における最大原理を用いて、カタネイド型の極限が存在しないことを証明し、連結成分の数の数え上げによる矛盾を導く。
• 法線グラフと横断的議論を用いた幾何的比較により、無限遠で複数の異なる錐体または円筒が同時に存在できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元自己収縮体が原点から離れた領域でどのような条件下で局所的にグラフ的になるか？
• RQ2 有限 genus を持つ非コンパクト自己収縮体が、無限遠で錐体または円筒に漸近的に近づくことが示せるか？
• RQ3 平均曲率が有界で局所的に有限な genus を持つ非コンパクト2次元自己収縮体に対して、第二基本形式は一様に有界か？
• RQ4 自己収縮体の正規化された平均曲率流れが、適切な条件下で平面または円筒に滑らかに収束するか？
• RQ5 最大原理の議論を用いて、$|\mathbf{x}|^2$ に適用することで、カタネイドが自己収縮体のスケーリング極限として生じないことを証明できるか？

主な発見

• 局所的グラフ的定理が証明された：平均曲率が小さく、第二基本形式の$L^2$ノルムが有界な場合、表面は勾配が$\delta_0$未満の局所的グラフである。
• 有限 genus を持つ非コンパクトで適切に埋め込まれた自己収縮体に対して、端は漸近的に円筒または錐体的であることが示され、予想1.1の一部が確認された。
• 平均曲率が有界で局所的に有限な genus を持つ非コンパクト2次元自己収縮体に対して、第二基本形式は一様に有界である。
• 任意の$\lambda \to \infty$ における$\Sigma - \lambda \mathbf{v}_0$ の極限は、局所的に滑らかに、重複度1の平面または自己収縮円筒に収束する。
• 最大原理を$|\mathbf{x}|^2$ に適用した際の連結成分の数の矛盾により、カタネイド型の極限が自己収縮体のスケーリング極限として生じないことが示された。
• 複数の横断的錐体または円筒を構成した後、連結成分の数の数え上げによる背理法を用いて、有限な genus と適切な埋め込みと両立しないことを示した。