[論文レビュー] Geometry of warped product and CR-warped product submanifolds in Kaehler manifolds: modified version

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ケーラー多様体内のワーペッド積およびCR-ワーペッド積部分多様体の幾何学における最近の進展を調査し、内在的曲率、第二基本形式の上限、および非存在定理に焦点を当てる。主な貢献は、第二基本形式のノルムの二乗に対する鋭い不等式および、非自明な例がワーピング関数と斜角の幾何的・解析的条件によって制約されることを示す点である。

ABSTRACT

The warped product $N_1 imes_f N_2$ of two Riemannian manifolds $(N_1,g_1)$ and $(N_2,g_2)$ is the product manifold $N_1 imes N_2$ equipped with the warped product metric $g=g_1+f^2 g_2$, where $f$ is a positive function on $N_1$. Warped products play very important roles in differential geometry as well as in physics. A submanifold $M$ of a Kaehler manifold $ ilde M$ is called a $CR$-warped product if it is a warped product $M_T imes_f N_\perp$ of a complex submanifold $M_T$ and a totally real submanifold $M_\perp$ of $ ilde M$. In this article we survey recent results on warped product and $CR$-warped product submanifolds in Kaehler manifolds. Several closely related results will also be presented.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体内のワーペッド積およびCR-ワーペッド積部分多様体に関する最近の結果を調査すること。
• ワーペッド積多様体の等長埋め込みに関する基本的問題AおよびB（リーマン多様体およびケーラー多様体への埋め込み）に取り組むこと。
• さまざまなワーペッド積部分多様体型における第二基本形式のノルムの二乗に対する鋭い幾何的不等式を提示すること。
• 曲率およびワーピング制約の下で、非自明なワーペッド積部分多様体（特に点付き半スラント、バイスラント、擬スラント型）を分類すること。

提案手法

• 周囲のケーラー多様体と部分多様体のリーマン接続を関係付けるために、ガウスおよびヴァインガルテンの公式を用いる。
• ガウスの法則を適用して、第二基本形式と周囲の曲率を含む曲率関係を導出する。
• 正規直交フレーム場を用い、ワーピング関数のラプラシアンを計算することで、幾何的制約を分析する。
• ワーピング関数の勾配とスラント角を用いて、第二基本形式のノルムの二乗に対する不等式を導出する。
• 分布（全複素、全実、スラント）の構造を分析して、ワーペッド積部分多様体を分類する。
• 平均曲率ベクトルと最小性条件を用いて、導出された不等式における等号成立条件を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素部分多様体 $ M_T $ と全実部分多様体 $ N_\perp $ を持つワーペッド積部分多様体 $ M_T \times_f N_\perp $ がケーラー多様体内に存在する条件は何か？
• RQ2 非自明なCR-ワーペッド積または点付き半スラントワーペッド積において、ワーピング関数 $ f $ に生じる幾何的制約は何か？
• RQ3 複素部分多様体と適切なスラント部分多様体のワーペッド積がケーラー多様体内に存在可能か？もし不可能ならば、その理由は何か？
• RQ4 ワーペッド積点付き半スラント部分多様体における第二基本形式のノルムの二乗の鋭い下界は何か？
• RQ5 スラント角とワーピング関数は、ワーペッド積部分多様体の最小性およびアンビリシティにどのように影響するか？

主な発見

• 部分多様体 $ N^T $ が複素であり、部分多様体 $ N^\theta $ が適切なスラント部分多様体であるとき、ケーラー多様体内に非自明なワーペッド積部分多様体 $ N^T \times_f N^\theta $ は存在しない。
• 点付き半スラントワーペッド積部分多様体 $ N^T \times_f N^\theta $ に対して、第二基本形式のノルムの二乗は $ \|\sigma\|^2 \geq 2p(\csc^2\theta + \cot^2\theta)\|\nabla^T(\ln f)\|^2 $ を満たし、等号成立時には最小性および特定の幾何的性質が成立する。
• ワーペッド積点付きバイスラント部分多様体では、ワーピング関数が定数（したがってリーマン積に帰着）であるか、または第二因子が全実（すなわち $ \theta_2 = \pi/2 $）である。
• 混合測地線的ワーペッド積擬スラント部分多様体では、全実因子が基本となる場合、第二基本形式のノルムの二乗は $ \|\sigma\|^2 \geq \beta \cos^2\theta \|\nabla(\ln f)\|^2 $ を満たす。
• 点付きスラント因子が基本となる場合、不等式は $ \|\sigma\|^2 \geq \beta \cot^2\theta \|\nabla(\ln f)\|^2 $ に変わる。これはスラント角に強く依存していることを示している。
• 点付き半スラント部分多様体における不等式の等号成立は、複素因子が全測地的であり、スラント因子が全アンビリカルである場合に限り成立し、全部分多様体は最小である。