[論文レビュー] Geometry of world sheets in Lorentz-Minkowski space

Shyūichi Izumiya|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Lorentz-Minkowski空間における世界面（時空的部分多様体）を、スカラーマニフォールドの1パラメータ族として定義し、ビッグウェーブフロント理論およびLegendrian特異点理論を用いて微分幾何的枠組みを構築する。光円錐ガウス写像、高さ関数、ペダル写像を導入し、展開された光円錐ペダル写像がビッグウェーブフロントをなすことを確立。これにより、関連関数の $s$-$P$-Legendrian同値性および $P$-$\mathcal{K}$-同値性を用いた特異点の分類が可能となる。

ABSTRACT

A world sheet in Lorentz-Minkowski space is a timelike submanifold consisting of a one-parameter family of spacelike submanifolds in Lorentz-Minkowski space. In this paper we investigate differential geometry of world sheets in Lorentz-Minkowski space as an application of the theory of big wave fronts.

研究の動機と目的

• Lorentz-Minkowski空間における世界面を、スカラーマニフォールドの1パラメータ族として定義する微分幾何的理論を構築すること。
• 特異点論を用いて、世界面と光的超平面および光円錐の接触を分析すること。
• 光円錐ガウス写像、光円錐高さ関数、展開された光円錐ペダル写像を幾何的不変量として導入し、それらを研究すること。
• 世界面の幾何的特異点と関連するビッグウェーブフロントの $s$-$P$-Legendrian同値性との間の対応を確立すること。
• 拡張された高さ関数の $P$-$\mathcal{K}$-同値性を用いて、世界面上の特異点を分類すること。

提案手法

• 時空幾何をモデル化するため、擬リーマン計量を備えたLorentz-Minkowski空間 $\mathbb{R}^{n+1}_1$ を用いる。
• 世界面を時間パラメータでパラメータ化された時空的部分多様体として定義し、各断片がスカラーマニフォールドであることを保証する。
• 光的超平面との接触を通じて、光円錐ガウス写像およびその曲率を定義する。
• 光円錐高さ関数の族を構成し、それを拡張することで展開された光円錐ペダル写像を定義する。
• ビッグウェーブフロント理論およびLegendrian特異点理論を適用し、ペダル写像の特異点を分析する。
• 生成関数の $s$-$P$-Legendrian安定性および $P$-$\mathcal{K}$-同値性を用いて特異点の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lorentz-Minkowski空間における世界面の幾何は、光的超平面および光円錐との接触をどのように記述できるか？
• RQ2 世界面の光円錐ペダル写像における特異点が幾何的に何を意味するか？
• RQ3 拡張された光円錐高さ関数の特異点は、世界面の内在的幾何とどのように関係するか？
• RQ4 二つの世界面の局所的形が、その特異点型に関して幾何的に同値となる条件は何か？
• RQ5 展開された光円錐ペダル写像はビッグウェーブフロントとして解釈可能か？その場合、特異点分類にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 展開された光円錐ペダル写像の像は、$LC^* \times I$ の射影化された余接 bundle 内の特定のビッグLegendrian部分多様体のビッグウェーブフロントである。
• 展開された光円錐ペダル写像の特異点は、関連するビッグLegendrian部分多様体の $s$-$P$-Legendrian同値性によって分類される。
• 拡張された光円錐高さ関数の $P$-$\mathcal{K}$-同値性は、ビッグウェーブフロントの $s$-$P$-Legendrian同値性に対応する。
• ビッグウェーブフロントの $s$-$P$-Legendrian安定性は $n \leq 5$ において一般的であり、特異点分類の安定性を保証する。
• 光円錐ガウス写像およびペダル写像から導かれる幾何的不変量は、$P$-$\mathcal{K}$-同値性のもとで特異点を完全に分類可能である。
• 主要同値定理（定理6.8）は、5つの条件——$s$-$P$-Legendrian同値性、高さ関数の $P$-$\mathcal{K}$-同値性、族の $s$-$P$-$\mathcal{K}$-同値性、像の $s$-$P$-微分同相性、曲率不変量の等価性——が、$s$-$P$-Legendrian安定性のもとですべて同値であることを確立している。