[論文レビュー] Geometry on nodal curves II: cycle map and intersection calculus

Ziv Ran|ArXiv.org|Oct 5, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ノードを持つ曲線の族の相対ヒルベルト多様体から相対対称積へのサイクル写像が、非還元的サイクルをパラメトライズする判別式部分多様体に沿ったブローアップであることを確立する。フラッグヒルベルト多様体上で交差計算を構築し、タウトロジカルバンドルのチャーン数を計算することで、除数類とファイバー情報に基づくタウトロジカル環の計算を通じて、多重点やマルチセカントの明示的数え上げを可能にする。

ABSTRACT

We study the relative Hilbert scheme of a family of nodal (or smooth) curves via its (birational) cycle map, going to the relative symmetric product. We show the cycle map is the blowing up of the discriminant locus, which consists of cycles with multiple points. We derive an intersection calculus for Chern classes of tautological bundles on the relative Hilbert scheme, which has applications to enumerative geometry.

研究の動機と目的

• 相対ヒルベルト多様体のサイクル写像が相対対称積へ写す幾何を理解すること。
• サイクルに多重点を持つ部分多様体（判別式部分多様体）に沿って、サイクル写像の構造を解明し、それがその上でのブローアップであることを示すこと。
• 相対ヒルベルト多様体上のタウトロジカルバンドルのチャーン数を計算するため、フラッグヒルベルト多様体上で交差計算を構築すること。
• 除数類を用いて、多重点やマルチセカントのサイクル数といった明示的計算可能な記録を可能にする。
• チャーン根をフラッグヒルベルト多様体上のタウトロジカル除数類の多項式として表現することで、分割原理に類似した枠組みを提供すること。

提案手法

• 相対ヒルベルト多様体 $X^{[m]}_B$ から相対対称積 $X^{(m)}_B$ へのサイクル写像 $\mathfrak{c}_m$ を定義する。
• $\mathfrak{c}_m$ が、非還元的サイクルをパラメトライズする判別式部分多様体 $D^m \subset X^{(m)}_B$ に沿ったブローアップであることを証明する。
• ファイバー内の長さ $m$ の部分スキームのフラッグをパラメトライズするフラッグヒルベルト多様体 $W^m(X/B)$ を用いる。
• ベース面のクラスとともに、除数類 $\Gamma^{\lceil i \rceil}$（$i=2,\dots,m$）と生成されるタウトロジカル環 $T^m$ を構成する。
• タウトロジカルクラスをこれらの除数類の多項式として表現し、チャーン根と交差積の計算を可能にする。
• $\Gamma^{\lceil m \rceil}$ による乗法の再帰的計算を構築し、加法的生成子と線形関係を用いて、最高次元の交差数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対ヒルベルト多様体から相対対称積へのサイクル写像は、判別式部分多様体に沿ったブローアップであるか？
• RQ2 フラッグヒルベルト多様体上で、相対ヒルベルト多様体上のタウトロジカルバンドルのチャーン数を計算するための交差計算を構築できるか？
• RQ3 フラッグヒルベルト多様体上のタウトロジカル環は、多重点やマルチセカントのサイクル数といった数え上げ不変量を計算するためにどのように利用できるか？
• RQ4 相対ヒルベルト多様体上の交差数と、滑らかな曲面の完全ヒルベルト多様体上の交差数との関係は何か？
• RQ5 ノードを持つファイバーを含む状況において、$W^m(X/B)$ 上のタウトロジカル環の構造が、最高次元の交差積を効果的に計算するために利用できるか？

主な発見

• サイクル写像 $\mathfrak{c}_m$ は、多重点を持つサイクルをパラメトライズする判別式部分多様体 $D^m$ に沿った相対対称積のブローアップと同型である。
• フラッグヒルベルト多様体 $W^m(X/B)$ 上のタウトロジカル環 $T^m$ は、除数類 $\Gamma^{\lceil i \rceil}$ とベース面のクラスによって生成され、チャーン数を計算するための計算法を備えている。
• $m=3$ の場合、交差数 $N_3$ は $-2\sigma + 14\omega^2$ として計算され、ここで $\sigma$ と $\omega^2$ はファイバーの genus と正則バンドルのデータから得られる。
• この計算法により、$\int_{W^3} (\Delta^{(3)})^4 = -2\sigma + 14\omega^2$ のような積分が再帰的関係とファイバー寄与を用いて明示的に評価可能である。
• 除数類の乗法則を用いて、$\int_{W^3} L^{(3)}L^{(i)}(\Delta^{(3)})^2 = 2L^2 - \deg_\pi(L)L.\omega$ のような積が導出可能である。
• 線形独立性の疑いがあるが、証明はされていない生成子の依存関係に対しても、この方法は最高次元の交差数を効果的に計算可能であり、数え上げ幾何学にとって不可欠である。