[論文レビュー] Geomety of generic Moishezon twistor spaces on 4CP^2

Nobuhiro Honda|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$4\mathbb{CP}^2$ 上に一般のモイシェゾン twistor 空間を、$\mathbb{CP}^4$ 内の放物面の2次元平面のスクリュー上への2重被覆として構成する。特徴的なのは、分岐除集合の定義方程式を $z_0z_3z_4f = Q^2$ として明示的に決定したことである。ここで $f$ は一次式、$Q$ は実係数の二次式である。主な貢献は、モジュライ空間の次元の明示的記述および、分岐除集合上の特異点の同定であり、13個の通常の二重点と2つの $A_3$-特異点が含まれる。

ABSTRACT

In this paper we investigate a family of Moishezon twistor spaces on the connected sum of 4 complex projective planes, which can be regarded as a direct generalization of the twistor spaces on 3CP^2 of double solid type studied by Poon and Kreussler-Kurke. These twistor spaces have a natural structure of double covering over a scroll of 2-planes over a conic. We determine the defining equations of the branch divisors in an explicit form, which are very similar to the case of 3CP^2. Using these explicit description we compute the dimension of the moduli spaces of these twistor spaces. Also we observe that similarly to the case of 3CP^2, these twistor spaces can also be considered as generic Moishezon twistor spaces on 4CP^2. We obtain these results by analyzing the anticanonical map of the twistor spaces in detail, which enables us to give an explicit construction of the twistor spaces, up to small resolutions.

研究の動機と目的

• Poon や Kreussler-Kurke が $3\mathbb{CP}^2$ 上で研究したものへの自然な一般化として、$4\mathbb{CP}^2$ 上の一般のモイシェゾン twistor 空間を構成すること。
• これらの twistor 空間におけるアントイカノニカル2重被覆構造の分岐除集合の定義方程式を特定すること。
• アントイカノニカルシステムの詳細な解析を用いて、このような twistor 空間のモジュライ空間の次元を計算すること。
• 分岐除集合の特異点を分類し、それらの不変量を同定すること。これには通常の二重点と $A_3$-特異点が含まれる。

提案手法

• twistor 空間のアントイカノニカルシステムを分析し、$\mathbb{CP}^4$ への有理写像を構成する。その像は、放物線の上に2次元平面のスクリュー $Y$ である。
• アントイカノニカル写像の不定点集合を、吹き上げと吹き下ろしを用いて明示的に解消し、$Z_1 \to Y$ なる2次射影を得る。
• 2重被覆の分岐除集合 $B$ を、$\mathbb{CP}^4$ 内の四次超曲面と $Y$ の交線として特定する。
• $B$ が5つの超平面と二重曲線で交わることを同定し、$3\mathbb{CP}^2$ の場合の放物線に類似した性質を示す。
• 5つの二重曲線が唯一の二次超曲面に含まれることを証明し、四次超曲面の基本的方程式 $z_0z_3z_4f = Q^2$ を導出する。
• 座標変換と局所的吹き上げを用いて、写像 $Z_3 \to Z_4$ の逆写像を構成し、ヒロナカの非射影的3次元多様体構成の特異版をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のモイシェゾン twistor 空間の $4\mathbb{CP}^2$ 上における分岐除集合の明示的定義方程式は何か？
• RQ2 これらの twistor 空間のアントイカノニカル写像はどのように因数分解され、その結果得られる2重被覆の構造はどのようなものか？
• RQ3 分岐除集合の特異点は何か？また、$3\mathbb{CP}^2$ の場合のそれらと比較するとどうなるか？
• RQ4 このような twistor 空間のモジュライ空間の次元は何か？
• RQ5 2重被覆構造は特異点の小さな解消として実現可能か？また、複素幾何学における既知の構成とどのように関係するか？

主な発見

• 2重被覆の分岐除集合 $B$ は、$\mathbb{CP}^4$ 内で $z_0z_3z_4f = Q^2$ により定義され、ここで $f$ は一次式、$Q$ は実係数の二次多項式である。
• 分岐除集合 $B$ には正確に13個の通常の二重点と2つの $A_3$-特異点があり、それらに加えて完全に同定された不変量を持つ孤立特異点が存在する。
• $4\mathbb{CP}^2$ 上のこれらの一般のモイシェゾン twistor 空間のモジュライ空間の次元は10であり、アントイカノニカルシステムの解析から計算された。
• 2重被覆構造は、$\mathbb{CP}^4$ 内の放物線の上に2次元平面のスクリュー $Y$ を持つ $Z_1 \to Y$ なる2次射影から生じ、不定点集合は明示的な吹き上げにより解消された。
• 分岐除集合の特異点は詳細に分析された：5つの二重曲線が存在し、それらの交点から13個の通常の二重点と2つの $A_3$-点が得られた。
• 可約な曲線における小解消と吹き上げを用いた twistor 空間の構成は、ヒロナカの非射影的3次元多様体の類似の特異版を提供し、モデルの双有理幾何学的性質を裏付けた。