[論文レビュー] Gerbal Representations of Double Loop Groups

Edward Frenkel, Xinwen Zhu|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、二重ループ群およびそのリー代数の非自明な3次コhomology類を実現するための「gerbal表現」——射影表現のカテゴリカル化類似——を導入する。完備化されたクリフォード代数上の加群の圏上で $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ のgerbal表現を構成することにより、フェルミオン的フォック表現の2次元アナロジーを提供し、カテゴリカル作用を通じて $H^3$ の異常類を実現することで、高次元における通常順序付けの不整合性を解消する。

ABSTRACT

A crucial role in representation theory of loop groups of reductive Lie groups and their Lie algebras is played by their non-trivial second cohomology classes which give rise to their central extensions (the affine Kac-Moody groups and Lie algebras). Loop groups embed into the group GL_\infty of continuous automorphisms of C((t)), and these classes come from a second cohomology class of GL_\infty. In a similar way, double loop groups embed into a group of automorphisms of C((t))((s)), denoted by GL_{\infty,\infty}, which has a non-trivial third cohomology. In this paper we explain how to realize a third cohomology class in representation theory of a group: it naturally arises when we consider representations on categories rather than vector spaces. We call them "gerbal representations." We then construct a gerbal representation of GL_{\infty,\infty} (and hence of double loop groups), realizing its non-trivial third cohomology class, on a category of modules over an infinite-dimensional Clifford algebra. This is a two-dimensional analogue of the fermionic Fock representations of the ordinary loop groups.

研究の動機と目的

• 二重ループ群およびそのリー代数の非自明な3次コホモロジー類を表現論的に解釈すること。
• 群の作用がベクトル空間ではなく圏上で起こるようなカテゴリカルな枠組み——gerbal表現——を構築すること。
• 無限次元の完備化されたクリフォード代数上の加群の圏を通じて、このコホモロジー類の具体的な実現を構成すること。
• 二重ループ群のためのフェルミオン的フォック表現の2次元アナロジーを確立すること。
• 表現の圏と完備化されたクリフォード加群の圏の間の同値性を、gerbal構造を保存する形で予想すること。

提案手法

• 完備化されたクリフォード代数上の加群の圏におけるgerbal表現を通じて、$\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ の3次コホモロジー類を実現する。
• 分解 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L'_0$ と $s^n\mathcal{O}_K \cap L'_0$ で定まる位相を用いて、完備化されたクリフォード代数 $\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}$ を構成する。
• 真空加群 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$ を、位相的部分代数 $\widehat{V}(L_0 \oplus L_0^\perp)$ からの誘導表現として定義する。
• 同型 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}}(\widehat{\mathrm{ML}}_{L_1, L'_0}, \widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}) \cong \det(L_1|L_0)$ を用いて、カテゴリカル作用を定義する。
• $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-軌道によって生成される半単純なアーベル圏 $\mathrm{Rep}$ を構成し、gerbal表現を実現する。
• $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$--equivariant な同値性を $\widehat{\mathrm{C}}_{\mathrm{ss}}^{\mathcal{O}_K}$ と $\mathrm{Rep}$ の間で予想し、$\widehat{\mathrm{ML}}_0$ を $\widehat{\mathrm{ML}}_0$ に送る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重ループ群の3次コホモロジー類は、表現論においてどのように実現可能か？
• RQ2 高次コホモロジー類を扱えるように、射影表現を一般化するカテゴリカル構造とは何か？
• RQ3 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ のためのフェルミオン的フォック表現の2次元アナロジーを構成可能か？
• RQ4 分解 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L'_0$ の選択が表現構造に与える影響は何か？
• RQ5 表現の圏と完備化されたクリフォード加群の圏の間に、自然な同値性が存在するか？

主な発見

• 本稿は、完備化されたクリフォード代数上の加群の圏における $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ のgerbal表現を構成し、非自明な3次コホモロジー類を実現する。
• $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-軌道によって生成される圏 $\mathrm{Rep}$ はgerbal作用に関して不変であり、$[E_3] \in H^3(\mathrm{GL}_{\infty,\infty}, \mathbb{C})$ を実現する。
• $L_0$ と擬似可換な二次的格子 $L_1$ に対して、$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}}(\widehat{\mathrm{ML}}_{L_1, L'_0}, \widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}) \cong \det(L_1|L_0)$ なる自然同型が存在し、これがカテゴリカル作用の根拠となる。
• 完備化されたクリフォード加群 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$ は、誘導位相に関して連続な $\widehat{\mathrm{GL}}_{f,\infty}$ の作用に関して不変である。
• 著者らは、任意の分解 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L''_0$ に対して $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$ と $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L''_0}$ が自然に同型であると予想し、記号 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$ を用いる。
• $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-equivariant な同値性が $\widehat{\mathrm{C}}_{\mathrm{ss}}^{\mathcal{O}_K}$ と $\mathrm{Rep}$ の間で予想され、$\widehat{\mathrm{ML}}_0$ を $\widehat{\mathrm{ML}}_0$ に送る。これにより、gerbal表現の準同型が実現される。