[論文レビュー] Gerber-Shiu functionals at Parisian ruin for Lévy insurance risk processes

Erik J. Baurdoux, Juan Carlos Pardo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Probability and Risk Models参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、指数分布による実装遅延を伴うスペクトル的に負のレヴィ保険リスク過程に対して、パリジアン破産におけるゲルバー–シャオ分布の明示的表現を導出する。拡張理論とスケール関数を用いて、ランドリアョ・エット・アララの先行研究を有界変動および無限変動の両過程に一般化し、スケール関数を用いたコン pact な式を提示する。これは既知の破産確率を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

Inspired by works of Landriault et al. \cite{LRZ-0, LRZ}, we study discounted penalties at ruin for surplus dynamics driven by a spectrally negative Lévy process with Parisian implementation delays. To be specific, we study the so-called Gerber-Shiu functional for a ruin model where at each time the surplus process goes negative, an independent exponential clock with rate $q>0$ is started. If the clock rings before the surplus becomes positive again then the insurance company is ruined. Our methodology uses excursion theory for spectrally negative Lévy processes and relies on the theory of the so-called scale functions. In particular, our results extend recent results of Landriault et al. \cite{LRZ-0, LRZ}.

研究の動機と目的

• スペクトル的に負のレヴィリスク過程における指数的実装遅延を伴うパリジアン破産モデルにゲルバー–シャオ関数を拡張すること。
• ゼロ未満の拡張に基づくパリジアン破産の厳密な定義を提示すること。
• ランドリアョ・エット・アララの先行研究を有界変動過程から一般のスペクトル的に負のレヴィ過程に一般化すること。
• ゲルバー–シャオ分布をスケール関数の観点から表現し、明示的計算を可能にすること。
• 導出された分布の特別な場合として、既知のパリジアン破産確率を回復できること。

提案手法

• スペクトル的に負のレヴィ過程の拡張理論を用いて、ゼロ未満の拡張をモデル化する。
• 強マルコフ性および拡張の独立性を適用して、破産時刻分布を分解する。
• スケール関数 $W^{(q)}$ および $W^{(q+ heta)}$ を用いて、破産時刻と不足額の同時分布を特徴付ける。
• パリジアン破産時刻を、負の拡張中に作動する指数分布時計が最初に鳴る時刻として定義するために、極限手続き $\varepsilon \downarrow 0$ を導入する。
• フラクチュエーション恒等式を活用し、ラプラス変換および優越収束定理を用いてゲルバー–シャオ関数を導出する。
• 恒等式 $\lim_{c\to\infty} \frac{W^{(r)}(c-x)}{W^{(r)}(c)} = e^{-\Phi(r)x}$ を用いて、無限時間枠の極限を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のスペクトル的に負のレヴィ過程に指数的実装遅延を伴う場合、パリジアン破産におけるゲルバー–シャオ分布はどのように特徴付けられるか。
• RQ2 破産メカニズムに負の拡張中に指数分布時計が関与する場合、ゲルバー–シャオ関数の明示的形は何か。
• RQ3 ランドリアョ・エット・アララの有界変動ケースにおける先行結果は、一般の無限変動設定にどのように拡張されるか。
• RQ4 フラクチュエーション理論の文脈において、パリジアン破産分布とスケール関数の関係は何か。
• RQ5 導出されたゲルバー–シャオ分布の特別な場合として、パリジアン破産の確率を回復できるか。

主な発見

• 本稿は、有界変動および無限変動の両方のスペクトル的に負のレヴィ過程に適用可能な、スケール関数を用いた明示的かつコン pact なパリジアン破産におけるゲルバー–シャオ分布の表現を導出する。
• 本研究は、ランドリアョ・エット・アララの結果を有界変動から一般のレヴィ過程へと拡張することで、先行研究を一般化する。
• 適切な極限を取ることで、パリジアン破産の確率が導出式の特別な場合として回復される。
• スケール関数の極限的挙動を用いて、無限時間枠のゲルバー–シャオ分布を計算し、$\Phi(\theta)$ および $\Phi(\theta+q)$ を含む式が得られる。
• 式はスケール関数と不足額に関する積分の組み合わせであり、係数はスケール関数の比と指数関数的要因に依存する。
• 極限 $\varepsilon \downarrow 0$ を用いて、パリジアン破産時刻を負の拡張中に指数分布時計が最初に鳴る時刻として定義する手続きが、厳密に正当化されている。