[論文レビュー] Gerbes and Brauer groups over stacks

Cristiana Bertolin, Federica Galluzzi|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、一般のスタックに対するブロイアー群理論を、ジェルベを基本的道具として発展させ、1モチーフにおける一般化された立方体の定理を確立し、正規の底スキーム上での H^2_et(M, G_m) のねじれ類が単位セクションによる引き戻しで自明となるものはアズマヤ代数から生じることを証明している。代数閉体上では、このようなすべての類がアズマヤ代数から来ることを示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to develop the theory of Brauer groups for stacks, which are not necessarily algebraic, using gerbes as foundamental tools. As an application, we focus our attention on Brauer theory for mixed motives: in particular, over a normal base scheme, we prove the generalized Theorem of the Cube for 1-motives and that a torsion class of the H^2_et(M,G_m) of a 1-motive M, whose pull-back via the unit section is zero, comes from an Azumaya algebra. Over an algebraically closed field, all classes of H^2_et(M,G_m) come from Azumaya algebras.

研究の動機と目的

• 代数的でないスタックに対し、ジェルベを基盤的道具として用いてブロイアー群理論を拡張すること。
• 混合モチーフの文脈におけるブロイアー群の構造を調査すること。
• 正規の底スキーム上での1モチーフに対して、一般化された立方体の定理を確立すること。
• H^2_et(M, G_m) のねじれ類がいつアズマヤ代数から生じるかを特定すること。
• 代数閉体上では、H^2_et(M, G_m) のすべての類がアズマヤ代数として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• スタックのブロイアー群を定義・分析するための中心的幾何的道具としてジェルベを用いる。
• 1モチーフ M に対する H^2_et(M, G_m) を研究するために、エタールコホロロジー技法を適用する。
• ねじれ類の引き戻し条件を分析するために単位セクションを用いる。
• 1モチーフの構造を用いて、コホモロジー的制約および持ち上げ性質を導出する。
• 降下理論およびスタック論的技法を用いて、古典的ブロイアー理論を一般化する。
• 結果を算術的幾何学の文脈に位置づけるために、混合モチーフの理論に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジェルベを用いて、代数的でないスタックに対するブロイアー群をどのように一般化できるか。
• RQ2 1モチーフ M に対する H^2_et(M, G_m) のねじれ類がアズマヤ代数から生じるための条件は何か。
• RQ3 正規の底スキーム上での1モチーフに対して、一般化された立方体の定理は成り立つか。
• RQ4 H^2_et(M, G_m) のすべての類がアズマヤ代数から生じるための条件は何か。
• RQ5 単位セクションによる引き戻しは、コホモロジー類がアズマヤ代数として実現可能かどうかにどのように影響するか。

主な発見

• 正規の底スキーム上での1モチーフに対して、一般化された立方体の定理が確立された。
• 単位セクションによる引き戻しが自明となる H^2_et(M, G_m) のねじれ類は、アズマヤ代数から生じる。
• 代数閉体上では、H^2_et(M, G_m) のすべての類がアズマヤ代数として実現可能である。
• ジェルベの理論は、代数的でないスタック上でのブロイアー群の定義に強固な枠組みを提供する。
• 結果は、古典的ブロイアー理論を混合モチーフおよび1モチーフの設定にまで拡張する。
• 単位セクションにおけるコホモロジー的条件は、類をアズマヤ代数に持ち上げるための主要な障害である。