[論文レビュー] Gerbes and quantum field theory

Jouko Mickelsson|ArXiv.org|Mar 11, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$PU(H)$-バンドルを介して、$H^3(M,\mathbb{Z})$ への整数第三コホモロジーの幾何的実現を確立する。その特徴クラスであるディクシエール＝ドウディークラスが $H^3(M,\mathbb{Z})$ の要素である。この研究は、ゲルベが量子場の理論における異常、特にフェルミオン系のアノマリー、特にチラル異常を理解するための微分幾何的枠組みを提供することを示している。これは、ループ群の射影的表現と中心拡大がコホモロジーの特徴クラスと結びつくことによって実現される。

ABSTRACT

The basic mechanism how gerbes arise in quantum field theory is explained; in particular the case of chiral fermions in background fields is treated. The role of of various gauge group extensions (central extensions of loop groups and their generalizations) is also explained, in relation to index theory computation of the Dixmier-Douady class of a gerbe.

研究の動機と目的

• 整数第三コホモロジー類の微分幾何的構成、特にゲルベを用いた $H^3(M,\mathbb{Z})$ の幾何的実現を提供すること。
• $PU(H)$-バンドルのディクシエール＝ドウディークラスが、量子場の理論における異常、特にチラル異常とどのように関係するかを明らかにすること。
• $SO(n)$ から $Spin(n)$ への構造群の上昇の障害が、ボクシュタイン準同型を介して $H^3(M,\mathbb{Z})$ のねじれ元に対応することを示すこと。
• 微分形式と特徴クラスを用いて、ループ群の中心拡大を高次元多様体へ一般化すること。
• de Rham コホモロジーが消える場合でも、ねじれコホモロジー類がハミルトニアン異常形式において物理的意味を持つことを示すこと。

提案手法

• $M$ 上の主 $PU(H)$-バンドルとしてゲルベを構成し、重複部分集合でのコycle条件を満たす遷移関数 $g_{\alpha\beta}$ を用いる。
• $PU(H)$-値の遷移関数を $U(H)$-値関数 $\hat{g}_{\alpha\beta}$ に上げることで、三重重複部分集合での $S^1$-値関数 $f_{\alpha\beta\gamma}$ を得る。
• Čech コホモロジーを用い、$f_{\alpha\beta\gamma}$ の対数差分によりディクシエール＝ドウディークラスを定義し、$H^3(M,\mathbb{Z})$ に値をとる類を得る。
• ボクシュタイン準同型を用いて、第二スティーフェル＝ホイットニー類 $w_2$ を $H^3(M,\mathbb{Z})$ の2-ねじれ元に写像し、スピン構造とゲルベを結びつける。
• チェーン＝シモンズ3-形式から得られる2-コサイクルを用いて、ループ群 $Map(S,G)$ の中心拡大を構成し、基本拡大の正規化を行う。
• $S^3$ や $S^5$ のような境界を持つ多様体と高次元形式を用いて、この構成を高次元ループ群へ一般化し、de Rham コホモロジーが消える場合でも中心拡大を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上の整数第三コホモロジー類は、どのようにファイバー・バンドルを介して幾何的に実現できるか？
• RQ2 ディクシエール＝ドウディークラスは、$PU(H)$-バンドルの特徴づけと、量子場の理論における物理的意味をどのように特定するか？
• RQ3 フェルミオン系のチラル異常は、$SO(n)$ から $Spin(n)$ へのゲージ構造群の上昇の障害とどのように関係するか？
• RQ4 $H^3(M,\mathbb{Z})$ のねじれコホモロジー類は、de Rham コホモロジーが消える場合でも、どのように物理的異常を符号化するか？
• RQ5 微分形式からどのようにしてループ群の中心拡大を構成できるか？また、ハミルトニアン形式の異常においてその意義は何か？

主な発見

• この構成により、$M$ 上の $PU(H)$-バンドルの同値類と $H^3(M,\mathbb{Z})$ の要素との間に一対一対応が成立し、特徴不変量としてディクシエール＝ドウディークラスが果たす役割が明確になる。
• $M$ 上にスピン構造が存在するための障害は、第二スティーフェル＝ホイットニー類 $w_2$ で与えられ、ボクシュタイン準同型を介して $H^3(M,\mathbb{Z})$ の2-ねじれ元に写像され、それがディクシエール＝ドウディークラスである。
• 有限次元の場合、ディクシエール＝ドウディークラスを表すČechコサイクルは、必ずねじれを示し、$N = \dim H$ に対して $Na = 0$ を満たす。これは $PU(H)$ の有限次元ファイバー構造に起因する。
• $G = SU(n)$ の場合、チェーン＝シモンズ3-形式によって定義されるループ群 $LG$ の中心拡大は基本拡大をもたらし、そのコホモロジー類は $H^2(LG,\mathbb{Z})$ を生成する。これは異常理論におけるその役割を裏付ける。
• de Rham コホモロジー類が消える場合（例：$G = SU(2)$ の $S^3$ 上）でも、$H^3(M,\mathbb{Z})$ におけるねじれ情報は保持され、$S^3$ から $G$ への写像の群における非自明な $\mathbb{Z}_2$ 拡大を反映している。これはウィッテンの $SU(2)$ 異常と一致する。
• 高次元形式（例：$SU(2)$ 上の5-形式 $\omega_5$）を用いることで、この構成は高次元ループ群へ一般化可能である。形式が次元の制約により恒等的にゼロであっても、$Map(S^3, G)$ の連結成分上での中心拡大を定義でき、物理的意味を持つ。