[論文レビュー] Gerbes, (twisted) K-theory, and the supersymmetric WZW model

Jouko Mickelsson|ArXiv.org|Jun 17, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、Wess-Zumino-Witten (WZW) モデルにおけるスーパーチャージの族が、ねじれK理論の類を定義することを示すことにより、gerbes、ねじれK理論、および超対称WZWモデルの間の接続を確立する。レベル $k+1/2$ のループ群の射影的ユニタリ表現を用いて、著者らはスーパーチャージ族が $K^1(G, k')$ に非自明な要素を生じることを示している。ここで、$k'$ は関連する主 $PU(H)$-バンドルのDixmier-Douady類に比例するねじれである。

ABSTRACT

The aim of this talk is to explain how symmetry breaking in a quantum field theory problem leads to a study of projective bundles, Dixmier-Douady classes, and associated gerbes. A gerbe manifests itself in different equivalent ways. Besides the cohomological description as a DD class, it can be defined in terms of a family of local line bundles or as a prolongation problem for an (infinite-dimensional) principal bundle, with the fiber consisting of (a subgroup of) projective unitaries in a Hilbert space. The prolongation aspect is directly related to the appearance of central extensions of (broken) symmetry groups. We also discuss the construction of twisted K-theory classes by families of supercharges for the supersymmetric Wess-Zumino-Witten model.

研究の動機と目的

• 量子場の理論における対称性の破れが、射影バンドルをベクトルバンドルに上げるための障害を通じてgerbesおよびねじれK理論を生じることを説明すること。
• フェルミオン場理論における異常から生じるDixmier-Douady類を、$H^3(X, \mathbb{Z})$ を通じたgerbesのコhomological記述に結びつけること。
• ループ群の族の射影的表現を用いて、超対称WZWモデルにおけるスーパーチャージの族から明示的なねじれK理論類を構成すること。
• 得られたねじれK理論類がVerlinde代数およびアフィンKac-Moody代数の表現理論とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• CAR代数の標準的正準化によりFock空間および無限次元ユニタリ群の射影的表現を定義する。
• 射影バンドルの遷移関数から開集合 $U_{ij}$ 上の局所ラインバンドル $L_{ij}$ を構成し、三重被覆でのコycle条件によってgerbeを形成する。
• Cech-de Rham二重複体における3形式曲率のde Rham代表元を用いてDixmier-Douady類を定義する。
• 主 $PU(H)$-バンドル $P$ からFredholm作用素の空間への等長写像としてねじれK理論類を実現し、射影的ユニタリ群の作用を考慮する。
• 空間の接続の空間 $\mathcal{A}/\Omega G$ にパラメータ化された自己共役作用素の族として、ゲージポテンシャル $A$ に結合したスーパーチャージ $Q_A$ を用いる。
• 族 $Q_A$ がループ群作用に関して等長的に変化することを示し、$K^1(G, k')$ におけるねじれK理論類を定義する条件を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場の理論におけるゲージ対称性の破綻が、gerbesおよび中心拡大の出現にどのように寄与するか。
• RQ2 gerbeのDixmier-Douady類とde Rhamコhomologyにおける曲率3形式の正確な関係は何か。
• RQ3 超対称WZWモデルにおけるスーパーチャージの族が、ねじれK理論類をどのように構成できるか。
• RQ4 レベル $k+1/2$ のループ群表現が、$K^1(G, k')$ のねじれを定義する上で果たす役割は何か。
• RQ5 群多様体 $G$ のねじれK理論が、レベル $k$ におけるアフィンリー代数のVerlinde代数とどのように関係するか。

主な発見

• 超対称WZWモデルにおけるスーパーチャージ族 $Q_A$ は、$k' = (2k+1)/\theta^2$ 倍の $H^3(G, \mathbb{Z})$ の生成元に比例する、ねじれK理論群 $K^1(G, k')$ の非自明な要素を定義する。
• レベル $k+1/2$ におけるループ群の射影的表現に関連する主 $PU(H)$-バンドルのDixmier-Douady類は、ねじれ $k'$ に比例する。
• 偶数次元の場合、スーパーチャージ $Q_A$ はチャノン成分 $Q_A^\pm$ に分解され、それぞれがインデックス理論を通じて $K^0(G, k')$ の非自明な要素を定義する。
• $s>0$ のとき、演算子 $\exp(-sQ^2)$ はトレースクラスであり、そのトレースはボソン的およびフェルミオン的Fock空間における最高重量表現のKac特徴式の積で与えられる。
• JLO循環コサイクルは $Q$ と電流代数の要素 $S(f)$ から構成可能であり、熱核の指数的減衰と作用素の多項式的成長の両方が有限寄与をもたらす。
• WZWモデルによるねじれK理論の幾何的構成は、Freed, Hopkins, および Telemanの等長的ねじれK理論に関する研究に従って、Verlinde代数と同型であると予想される。