[論文レビュー] Gersten weight structures for motivic homotopy categories; retracts of cohomology of function fields, motivic dimensions, and coniveau spectral sequences

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$SH^{S^1}(k)$ に因数分解するコホモロジー理論に対して、ファンクター的なコヌイエイツ・スペクトル系列を確立し、$\mathbb{A}^1$-pro-スペクトルの圏にゲルステン・ウェイト構造を導入する。主な結果は、アフィンで本質的に滑らかで半局所的なスキームおよび $\mathbb{A}^1$-点のコホモロジーが、開で稠密な部分スキームのコホモロジーのリトラクトであるということであり、これはスプリット・クーサイン複体を意味し、モチーフ的スペクトルへのブロッホ・オグスのスペクトル系列の一般化を実現する。

ABSTRACT

For any cohomology theory $H$ that can be factorized through (the Morel-Voevodsky's triangulated motivic homotopy category) $SH^{S^1}(k)$ we establish the $SH^{S^1}(k)$-functoriality of coniveau spectral sequences for $H$. We also prove: for any affine essentially smooth semi-local $S$ the Cousin complex for $H^*(S)$ splits; if $H$ also factorizes through $SH^+(k)$ or $DM(k)$, then this is also true for any primitive $S$. Moreover, the cohomology of such an $S$ is a direct summand of the cohomology of any its open dense subscheme. This is a vast generalization of the results of a previous paper. In order to prove these results we consider certain triangulated categories of motivic pro-spectra, and introduce Gersten weight structures for them. We study in detail the notions of cohomological dimensions of scheme associated to various categories of motivic pro-spectra; they are defined in terms of the corresponding weight structures and count the number of non-zero Nisnevich cohomology for sheaves in the hearts of orthogonal "homotopy" $t$-structures.

研究の動機と目的

• 任意の完全体上の $SH^{S^1}(k)$ や関連するモチーフ的圏の文脈へ、ヴェドヴォドスキーのモチーフからファンクター的コヌイエイツ・スペクトル系列を拡張すること。
• アフィンで本質的に滑らかで半局所的なスキームおよび $\mathbb{A}^1$-点のコホモロジーが、任意の稠密な開部分スキームのコホモロジーのリトラクトであることを確立し、これによりスプリット・クーサイン複体が得られること。
• $SH^{S^1}(k)$ の任意のコンパクト対象に対して、古典的なコヌイエイツ・スペクトル系列を一般化する、$\mathbb{A}^1$-pro-スペクトルの圏に新たなゲルステン・ウェイト構造を導入すること。
• $\mathbb{A}^1$-コホモロジー次元を定義し、関連するモチーフ的次元および関数体のプロスペクトルと関係づけること。
• 代表スペクトルの $t$-切断を用いて、ブロッホ・オグスのスペクトル系列の計算をモチーフ的スペクトルへ一般化すること。

提案手法

• $SH^{S^1}(k)^c$ および本質的に滑らかな $k$-スキームのプロスペクトルを含む、$\mathbb{A}^1$-pro-スペクトルの triangulated 圏 $\mathfrak{D}$ を構成する。
• $\mathfrak{D}$ 上に、滑らかな多様体の点のねじれプロスペクトルを含む心を持つゲルステン・ウェイト構造 $w$ を定義する。
• $\mathfrak{D}$ 内のポストニクォフ塔を用いて、滑らかな多様体の $SH^{S^1}(k)$-スペクトルをその点のねじれプロスペクトルの分解に持つ。
• $SH^{S^1}(k)^{\mathrm{op}}$-ファンクター性を、$SH^{S^1}(k)$ を通る任意のコホモロジー理論に対して確立する。
• 関数体のプロスペクトルが、任意の稠密なプロ開部分スキームのプロスペクトルのリトラクトであることを証明し、これによりコホモロジーに対しても同様の性質が成り立つことを示す。
• $\mathbb{A}^1$-コホモロジー次元の概念を導入し、パラメータでの局所化が $\leq 0$ の次元を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー理論が $SH^{S^1}(k)$ を通る場合、そのコヌイエイツ・スペクトル系列をモチーフ的ホモトピー圏の反対圏においてファンクター的にできるか。
• RQ2 本質的に滑らかで半局所的なスキームのコホモロジーが、任意の稠密な開部分スキームのコホモロジーの直接和成分となる条件は何か。
• RQ3 代表スペクトルの $t$-切断を用いて、古典的なブロッホ・オグスのコヌイエイツ・スペクトル系列をどのようにモチーフ的スペクトルへ一般化できるか。
• RQ4 $\mathbb{A}^1$-pro-スペクトルは、コヌイエイツフィルトレーションを一般化するウェイト構造を構成するために果たす役割は何か。
• RQ5 本質的に滑らかなスキームのコホモロジーに対するクーサイン複体がいつスプリットするのか、そしてこれはコホモロジー次元にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 任意のアフィンで本質的に滑らかで半局所的な $S/k$ に対して、$H$ が $SH^{S^1}(k)$ を通るならば、$H^*(S)$ のクーサイン複体はスプリットする。これにより、任意の稠密なプロ開部分スキーム $S'$ に対して $H^*(S)$ は $H^*(S')$ の直接和成分である。
• $\mathfrak{D}$ 内の関数体のプロスペクトルは、そのすべての幾何的評価に関する剰余体のねじれプロスペクトルをリトラクトとして含む。したがって、関数体のコホモロジーに対しても同様の性質が成り立つ。
• 本質的に滑らかなスキーム $S/k$ が $\mathbb{A}^1$-点であるための必要十分条件は、そのプロスペクトルが $S$ の任意の稠密なプロ開部分スキームのプロスペクトルのリトラクトであることである。
• アフィンで本質的に滑らかで半局所的なスキームのパラメータでの局所化は、$\mathbb{A}^1$-コホモロジー次元 $\leq 0$ を持ち、このようなスキームは $\mathbb{A}^1$-点である。
• $H$ が $Y \in SH^{S^1}(k)$ によって表される場合、コヌイエイツ・スペクトル系列は $Y$ の $t$-切断を用いて表現可能であり、これはブロッホ・オグスの計算をモチーフ的スペクトルへ一般化する。
• $k$ が有限の $2$-adic コホモロジー次元を持つとき、$S/k$ の ${\mathbb{Z}}[1/2]$-線形 $T$-コホモロジー次元は、その ${\mathbb{Z}}[1/2]$-線形モチーフ的次元に等しい。