[論文レビュー] GF(2^m) Low-Density Parity-Check Codes Derived from Cyclotomic Cosets

Cen Jung Tjhai, Martin Tomlinson+3 more|ArXiv.org|Feb 7, 2005

Error Correcting Code Techniques参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、巡回コセット、イデムポテンス、Mattson-Solomon多項式を用いて、GF(2^m)巡回低密度パリティーチェック（LDPC）符号の新しい代数的構成を提示する。巡回コセットのイデムポテンスを加算して双対符号のイデムポテンスを構成することで、符号次元とパリティーチェック行列のスパarsityを体系的に制御でき、最小距離が大きく、短いブロック長においてスフィアパcking境界の0.2 dB以内の性能を達成する符号が得られる。

ABSTRACT

Based on the ideas of cyclotomic cosets, idempotents and Mattson-Solomon polynomials, we present a new method to construct GF(2^m), where m>0 cyclic low-density parity-check codes. The construction method produces the dual code idempotent which is used to define the parity-check matrix of the low-density parity-check code. An interesting feature of this construction method is the ability to increment the code dimension by adding more idempotents and so steadily decrease the sparseness of the parity-check matrix. We show that the constructed codes can achieve performance very close to the sphere-packing-bound constrained for binary transmission.

研究の動機と目的

• GF(2^m)上での非巡回LDPC符号を体系的に構成する手法を開発すること。特に、短いブロック長の応用に適した巡回符号を対象とする。
• イデムポテンスの段階的追加により、符号次元とパリティーチェック行列のスパarsityを制御可能にする。
• BCH境界を用いた最小距離の下界を提供することで、不規則なLDPC符号構成の欠点を補う。
• 非2進数記号を用いても、二進符号の理論的スフィアパッキング境界に近い性能を達成すること。
• 巡回構造のおかげで低複雑度符号化を実現し、データ保存および無線システムにおける実装に有益である。

提案手法

• 本手法は、特定のコセット代表元に対応する巡回コセットのイデムポテンスを加算することで、GF(2^m) LDPC符号を構成する。
• 得られた双対符号のイデムポテンスは、Mattson-Solomon多項式変換により導出され、これはイデムポテンスをパリティーチェック多項式にマッピングする。
• パリティーチェック行列は、この多項式の係数から構成され、追加されたイデムポテンスの数によってスパarsityが制御される。
• パリティーチェック多項式の根にBCH境界を適用することで、最小距離の下界が得られる。
• イデムポテンスの追加・削除により、符号レートを体系的に調整可能であり、スパarsityと次元のトレードオフを実現できる。
• 本手法は非2進数符号（GF(2^m)上）に一般化可能であり、反復的ベイズ推論符号化による性能評価が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回コセットとイデムポテンスを用いて、符号次元とスパarsityを制御可能な非2進数LDPC符号（GF(2^m)上）を体系的に構成可能か？
• RQ2 複数のイデムポテンスを含めることで、得られるLDPC符号のスパarsityと性能にどのような影響を与えるか？
• RQ3 BCH境界などの代数的ツールを用いて、構成された符号の最小距離を効果的に下界で評価可能か？
• RQ4 これらの符号は、同等長および同等レートの二進符号のスフィアパッキング境界にどの程度近づけるか？
• RQ5 符号の代数的構造により、低複雑度符号化を実現しつつ、良好な反復的符号化収束性を維持できるか？

主な発見

• GF(2^6)(21,15)巡回LDPC符号は、126ビットの二進符号に対して、10^-3のフレーム誤り率を0.2 dBの差でスフィアパッキング境界に近づける。
• GF(2^2)(255,175)巡回LDPC符号は、510ビットの等価二進符号に対して、10^-3 FERの誤り率でスフィアパッキング境界より約0.36 dB劣る性能を示す。
• GF(2^3)(91,63)巡回LDPC符号は、4周期を含むものの、273ビットの等価二進符号に対して0.35 dB以内の性能を達成する。
• イデムポテンスの段階的追加により、符号次元とパリティーチェック行列のスパarsityを体系的に制御可能である。
• BCH境界を用いた最小距離の下界評価が有効に機能し、不規則符号構成に比べて顕著な利点を提供する。
• 符号は優れた反復的符号化収束性を示し、巡回構造のおかげで低複雑度の線形シフトレジスタ符号化が可能である。