[論文レビュー] Ghosts of Order on the Frontier of Chaos

Mark Muldoon|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

1989年の博士論文は、KAM定理を越えたハミルトニアン系における秩序の持続性を、高次元シンプレクティック写像に焦点を当てて調査している。バーチャルなBirkhoff周期的軌道の数値的近似と、厳密なマシン支援計算を用いて、摂動系における混合領域に、破壊された不変トーラスの「秩序の幻」であるCantoriに類似した構造が、KAMトーラスが存在しなくても依然として残存することを示している。これは、Aubry-Mather理論を4次元に拡張するものである。

ABSTRACT

What kinds of motion can occur in classical mechanics? We address this question by looking at the structures traced out by trajectories in phase space; the most orderely, completely integrable systems, are charactrized by phase trajectories confined to low-dimensional, invariant tori. The KAM theory examines what happens to the tori when an integrable system is subjected to a small perturbation and finds that, for small enough perturbations, most of them survive. The KAM theory is mute on the suject of the disrupted tori, but, for two dimensional systems, Aubry and Mather discovered an astonishing picture: the broken tori are replaced by "cantori", tattered, Cantor-set remnants of the original invariant curves. We seek to extend Aubry and Mather's picture to higher dimensional systems and report two kinds of studies; both concern perturbations of a completely integrable, four-dimensional symplectic map. In the first study we compute some numerical approximations to Birkhoff periodic orbits; sequences of such orbits should approximate any higher dimensional analogs of the cantori. In the second study we prove converse KAM theorems; that is, we use a combination of analytic arguments and rigorous, machine-assisted computations to find perturbations so large that no KAM tori survive. We are able to show that the last few of our Birkhoff orbits exist in a regime where there are no tori.

研究の動機と目的

• 2次元から高次元ハミルトニアン系へのAubryとMatherのCantori（破壊された不変トーラスの破れた断片）理論の拡張。
• KAMトーラスが存在しなくなった摂動された可積分系における位相空間の構造の調査。
• 大規模な摂動下でもKAMトーラスが存在しないことを検証するための厳密な計算手法の開発と適用。
• Birkhoff周期的軌道の数値的近似を、高次元におけるCantoriの類似物の候補として用いる。
• 解析的議論とマシン支援計算を組み合わせた逆KAM定理の確立により、不変トーラスの不在を確認する。

提案手法

• 4次元シンプレクティック写像におけるBirkhoff周期的軌道の数値的計算を、高次元Cantoriの近似として用いる。
• 作用関数の最小化により周期的軌道を特定するための変分原理の適用。
• 区間演算と任意精度演算を用いて、誤差の境界を数学的に厳密に制御する。
• リプシッツの錐族と精密化された座標系を用いて、双曲性および不変トーラスの不在を分析する。
• グローバルな推定と錐場の精密化を用いて、マシン支援の厳密計算により、大規模な摂動下でもKAMトーラスが存在しないことを検証する。
• シリンダーからの逆KAM技法を、対称性の利用とピラミッド像の境界設定を含む、高次元位相空間へと適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元シンプレクティック写像におけるBirkhoff周期的軌道は、高次元系におけるCantoriの類似物として機能できるか？
• RQ2 KAMトーラスが存在しなくなった摂動された4次元可積分系における位相空間の構造はいかなるものか？
• RQ3 厳密な計算手法を用いて、大規模な摂動下でも不変トーラスが存在しないことをどのように証明できるか？
• RQ4 Aubry-Mather理論におけるCantoriの図像は、2自由度を越えてどの程度拡張可能か？
• RQ5 リャプノフ指数と軌道の形状は、混合領域における秩序の断片を特定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• この論文は、4次元シンプレクティック写像におけるBirkhoff周期的軌道の数値的近似を成功裏に計算し、これが高次元Cantoriの候補である可能性を示唆している。
• 解析的議論とマシン支援の厳密計算を組み合わせることで、大規模な摂動下でもKAMトーラスが存在しないことを証明した。
• 計算された最後の数個のBirkhoff軌道は、KAMトーラスが存在しない領域でも持続しており、これはCantoriに類似した構造としての「秩序の幻」の存在を示している。
• 区間演算と任意精度演算の使用により、すべての計算的境界が数学的に厳密で、誤差が制御されていることが保証された。
• リプシッツの錐族とピラミッド像の境界設定の手法により、双曲性のグローバルで厳密な推定が可能となり、不変トーラスの不在が確認された。
• この論文は、高次元における逆KAM定理を確立し、十分に大きな摂動下では、複雑な位相空間構造を有する系であってもKAMトーラスが生存しないことを示した。