[論文レビュー] Gibbs and equilibrium measures for some families of subshifts

Tom Meyerovitch|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非有限型のサブシフトにまで、Gibbs測度および平衡測度に関するLanford-Ruelle定理を一般化し、'位相的Gibbs'測度の概念を導入する。d-summableな変動を持つ関数に対して、平衡測度がβシフト、Dyckシフト、Kalikow型シフトを含むさまざまな非soficサブシフトにおいて位相的Gibbsとなることを証明し、符号的力学における平衡統計力学の枠組みを大幅に拡張する。

ABSTRACT

For SFTs, any equilibrium measure is Gibbs, as long a $f$ has $d$-summable variation. This is a theorem of Lanford and Ruelle. Conversely, a theorem of Dobru{š}in states that for strongly-irreducible subshifts, shift-invariant Gibbs-measures are equilibrium measures. Here we prove a generalization of the Lanford-Ruelle theorem: for all subshifts, any equilibrium measure for a function with $d$-summable variation is "topologically Gibbs". This is a relaxed notion which coincides with the usual notion of a Gibbs measure for SFTs. In the second part of the paper, we study Gibbs and equilibrium measures for some interesting families of subshifts: $β$-shifts, Dyck-shifts and Kalikow-type shifts (defined below). In all of these cases, a Lanford-Ruelle type theorem holds. For each of these families we provide a specific proof of the result.

研究の動機と目的

• 有限型サブシフトにおける平衡測度とGibbs測度の関係を示す古典的Lanford-Ruelle定理を、より広い非soficサブシフトのクラスへと拡張すること。
• 一般のサブシフトに対して有効である、標準的なGibbs条件の緩和版としての'位相的Gibbs'測度の概念を導入し、形式化すること。
• βシフト、Dyckシフト、Kalikow型シフトを含む特定の非soficで1次元のサブシフト族における平衡測度およびGibbs測度の存在と一意性を調査すること。
• 従来の剛性が成立しない状況、例えばKalikow型シフトにおいて、Gibbs測度の構造的およびエルゴード的性質を分析すること。
• 特にDyckシフトの場合に、これらの族における平衡測度の明示的構成と圧力最大化フレームワークを提供すること。

提案手法

• シフト写像下での漸近的に収束する軌道によって定義される、サブシフト上の基礎的同値関係としての'位相的Gibbs関係'（同宿関係）を導入する。
• 位相的Gibbs関係に関するGibbs型不等式を満たす測度として、'位相的Gibbs'測度を定義し、古典的Gibbs条件を一般化する。
• 相対エントロピーのRoklinの公式を適用し、候補となる平衡測度の測度論的エントロピーを、分割エントロピーと混合パラメータで上界で評価する。
• Dyckシフトに対して、括弧の種類がi.i.d.で、対応する括弧が条件付き独立であるとモデル化することで、明示的な平衡測度を構成する。
• 不変測度のパラメータ（括弧の種類の頻度や一致パターン）によるパラメータ化を用い、圧力最大化問題をμ₁⁺、μ₃、μ₄などのパラメータに関する有限次元最適化問題に還元する。
• 圧力関数の偏導関数を用いて、正規性（すなわち、平衡測度の存在）の必要十分条件を導出し、パラメータとポテンシャル関数を関連付ける明示的方程式（7）、（8）、（9）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型でないサブシフトに対しても、平衡測度がGibbs測度であるというLanford-Ruelle定理は成立するか？
• RQ2 標準的なGibbs測度の概念を、一般のサブシフト（特に非soficなもの）に対しても成立するように、'位相的Gibbs'条件へと緩和できるか？
• RQ3 βシフト、Dyckシフト、Kalikow型シフトにおけるGibbs測度および平衡測度の構造的およびエルゴード的性質は何か？
• RQ4 強い非可約性や有限型構造が欠如する状況下でも、圧力最大化による平衡測度の一意的特徴付けは可能か？
• RQ5 Dyckシフトのような非マルコフ系において、不変測度のパラメータ（例えば括弧の種類や一致パターンの頻度）は、ポテンシャル関数とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の変動がd-summableなポテンシャル関数を有するサブシフトに対して、すべての平衡測度は位相的Gibbsである。これは、有限型サブシフトを超えたLanford-Ruelle定理の一般化である。
• Dyckシフトでは、f-平衡測度が存在し、圧力式を最大化するためのパラメータが方程式（7）、（8）、（9）を満たすことで一意に定まる。
• Dyckシフトの唯一の平衡測度は、括弧の種別（丸括弧か角括弧か）がi.i.d.であり、括弧の一致タイプが括弧の種別を条件として独立であるようなマルコフ過程として構成される。
• Kalikow型シフトでは、Gibbs測度に剛性が欠如するが、最大エントロピー測度に対してはLanford-Ruelleの結論が成立し、平衡測度とGibbs測度の対応関係が部分的に保存されている。
• βシフトでは、一意なテイル不変測度の存在が確立され、不変測度に強い構造的制約が存在することが示された。
• 平衡測度μの圧力は関数P(μ₁⁺, μ₃, μ₄)で上界で抑えられ、等号が成り立つのは、括弧過程がi.i.d.であり、一致タイプが与えられた制約下で独立である場合に限る。