[論文レビュー] Gibbs measures of disordered lattice systems with unbounded spins

Yuri Kondratiev, Yuri Kozitsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℤ^d 上の無限スピンと無限相互作用を有する不規則格子系に対して、ギブズ測度の存在および可測性を確立する。重み付き ℓ^p および ℓ^q 空間を導入することで、スピンおよび相互作用強度の成長を制御し、弱コンパクト性、一様可積分性、および可測選択の存在を証明する。これにより、 quenched 不規則性下での経験的ギブズ測度およびメタ状態のほとんど確実な弱収束が得られ、ギブズ測度の存在が保証される。

ABSTRACT

The Gibbs measures of a spin system on $Z^d$ with unbounded pair interactions $J_{xy} σ(x) σ(y)$ are studied. Here $\langle x, y angle \in E $, i.e. $x$ and $y$ are neighbors in $Z^d$. The intensities $J_{xy}$ and the spins $σ(x) , σ(y)$ are arbitrary real. To control their growth we introduce appropriate sets $J_q\subset R^E$ and $S_p\subset R^{Z^d}$ and prove that for every $J = (J_{xy}) \in J_q$: (a) the set of Gibbs measures $G_p(J)= \{μ: solves DLR, μ(S_p)=1\}$ is non-void and weakly compact; (b) each $μ\inG_p(J)$ obeys an integrability estimate, the same for all $μ$. Next we study the case where $J_q$ is equipped with a norm, with the Borel $σ$-field $B(J_q)$, and with a complete probability measure $ν$. We show that the set-valued map $J \mapsto G_p(J)$ is measurable and hence there exist measurable selections $J_q i J \mapsto μ(J) \in G_p(J)$, which are random Gibbs measures. We prove that the empirical distributions $N^{-1} \sum_{n=1}^N π_{Δ_n} (\cdot| J, ξ)$, obtained from the local conditional Gibbs measures $π_{Δ_n} (\cdot| J, ξ)$ and from exhausting sequences of $Δ_n \subset Z^d$, have $ν$-a.s. weak limits as $N ightarrow +\infty$, which are random Gibbs measures. Similarly, we prove the existence of the $ν$-a.s. weak limits of the empirical metastates $N^{-1} \sum_{n=1}^N δ_{π_{Δ_n} (\cdot| J,ξ)}$, which are Aizenman-Wehr metastates. Finally, we prove the existence of the limiting thermodynamic pressure under some further conditions on $ν$.

研究の動機と目的

• 不規則格子系における無限スピンと無限相互作用を有するギブズ場の体系的取り扱いの欠如に対処すること。
• 標準的な有界相互作用のケースを超えて、特に無限スピンの文脈でギブズ測度理論を拡張すること。
• ギブズ測度の集合値写像からの可測選択を用いて、確率的ギブズ測度の存在を証明すること。
• quenched 不規則性下での経験的ギブズ測度および Aizenman-Wehr メタ状態のほとんど確実な弱極限の存在を確立すること。
• 主な推定を支援するため、この無限相互作用モデルにおける第一の GKS 不等式のバージョンを導出すること。

提案手法

• 無限スピンおよび相互作用強度の成長を制御するため、重み付き ℓ^p および ℓ^q 空間 𝒮_p および 𝒥_q を導入する。
• 無限スピンモデルに特化した、第一の GKS 不等式の新しいバージョンを用いて、一様可積分性の推定を得る。
• 各固定された相互作用 J ∈ 𝒥_q に対して、ギブズ測度の弱コンパクト性および一様可積分性を証明する。
• 集合値写像 J ↦ 𝒢_p(J) に可測選択定理を適用し、確率的ギブズ測度 μ(J) の存在を保証する。
• Komlós の定理を用いて、経験的測度およびメタ状態が、収束列に沿ってほとんど確実に弱収束することを証明する。
• 不規則性測度 ν に追加の条件を課すと、quenched 熱力学的圧力が有限体積圧力の極限として存在することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則格子系に無限スピンおよび無限相互作用を有するギブズ測度は存在するか？
• RQ2 相互作用強度が確率的かつ無限である場合、ギブズ測度の可測選択は構成可能か？
• RQ3 quenched 不規則性下で、経験的ギブズ測度および Aizenman-Wehr メタ状態はほとんど確実に収束するか？
• RQ4 すべての J ∈ 𝒥_q に対して一様に成り立つギブズ測度の可積分性推定は存在するか？
• RQ5 この無限相互作用モデルに対して、第一の GKS 不等式のバージョンは確立可能か？

主な発見

• すべての J ∈ 𝒥_q に対して、ギブズ測度の集合 𝒢_p(J) は空でなく、弱コンパクトである。
• 各 μ ∈ 𝒢_p(J) は一様可積分性推定を満たす：∫ exp(λ‖σ‖_p^p) dμ(σ) ≤ exp(Υ₁(λ) + Υ₂(λ)‖J‖_q^q)。
• 可測選択 J ↦ μ(J) が存在し、ν-ほとんど確実に μ(J) は確率的ギブズ測度である。
• N⁻¹∑ₙ₌₁ᴺ π_Δₙ(·|J,ξ) は N → ∞ のとき ν-ほとんど確実に弱収束し、これにより確率的ギブズ測度が得られる。
• N⁻¹∑ₙ₌₁ᴺ δ_{π_Δₙ(·|J,ξ)} も ν-ほとんど確実に弱収束し、これにより Aizenman-Wehr メタ状態が得られる。
• ν に追加の条件を課すと、quenched 熱力学的圧力が有限体積圧力の極限として存在する。