[論文レビュー] Gibbs Partitions (EPPF's) Derived From a Stable Subordinator are Fox H and Meijer G Transforms

Man-Wai Ho, Lancelot F. James+1 more|ArXiv.org|Aug 4, 2007

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 41被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、$\alpha$-安定な部分順序のジャンプによって生成されるギブス分割の交換可能な分割確率関数（EPPF）の明示的表現を導出する。一般の $\alpha$ に対しては、Fox $H$-関数の比として表現可能であり、$\alpha$ が有理数の場合にはMeijer $G$-関数の比として表現可能である。主な貢献は、特殊関数と確率論的分布理論を用いて、数千ものEPPFを明示的に計算可能な確率的枠組みを提供することにある。これにより、ランベールおよびベータ・ガンマクラスへの新規応用が可能となる。

ABSTRACT

This paper derives explicit results for the infinite Gibbs partitions generated by the jumps of an $α-$stable subordinator, derived in Pitman \cite{Pit02, Pit06}. We first show that for general $α$ the conditional EPPF can be represented as ratios of Fox-$H$ functions, and in the case of rational $α,$ Meijer-G functions. Furthermore the results show that the resulting unconditional EPPF's, can be expressed in terms of H and G transforms indexed by a function h. Hence when h is itself a H or G function the EPPF is also an H or G function. An implication, in the case of rational $α,$ is that one can compute explicitly thousands of EPPF's derived from possibly exotic special functions. This would also apply to all $α$ except that computations for general Fox functions are not yet available. However, moving away from special functions, we demonstrate how results from probability theory may be used to obtain calculations. We show that a forward recursion can be applied that only requires calculation of the simplest components. Additionally we identify general classes of EPPF's where explicit calculations can be carried out using distribution theory.

研究の動機と目的

• 「$\alpha$-安定部分順序によって生成されるギブス分割から生じるEPPFの明示的解析的表現を提供すること。
• 従来 $\alpha=1/2$ の場合に限られていた既知の結果を、一般の $\alpha \in (0,1)$ に拡張し、Fox $H$-関数を用いること。
• 無条件EPPFが関数 $h$ によってインデックス付けられた $H$-または $G$-変換として表現可能であることを示し、$h$ が特殊関数そのものである場合にはEPPFが同様の構造を継承できることを示すこと。
• 数値的評価を回避する、$H$-変換および関連量を明示的に計算するための新しい確率論的技法を導入すること。
• 分布理論を用いて明示的なEPPF計算が可能な一般クラス（ランベールおよびベータ・ガンマ）を同定すること。

提案手法

• 条件付きEPPFは、Lévy密度 $\rho_{\alpha}(s) = \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)}s^{-\alpha-1}$ を持つポisson-ディリクレ分布から導出され、$\alpha$-安定部分順序の順位付きジャンプに関連する。
• 一般の $\alpha$ に対しては、$H$-関数の性質を活用して、複雑な確率的分割構造を表現するため、Fox $H$-関数の比としてEPPFを表現する。
• $\alpha$ が有理数の場合、EPPFはMeijer $G$-関数の比に簡略化され、既知の積分恒等式を用いて明示的解析的計算が可能になる。
• 最も単純な成分の計算のみを必要とする前向き再帰式が開発され、完全な特殊関数の評価を回避することで、効率的な数値評価が可能になる。
• ランベールおよびベータ・ガンマクラスが、分布的恒等式によりEPPFの明示的導出が可能な取り扱いやすい家族として特定される。
• 理論的結果は積分変換に基づいている：$H$-および $G$-関数がEPPFを表現するために用いられ、積分の評価にはPrudnikovら（1990）の恒等式が適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $\alpha$ に対して、$\alpha$-安定部分順序によって生成されるギブス分割のEPPFは、特殊関数を用いて表現可能か？
• RQ2 $\alpha=1/2$ の場合にヘルミート関数で表現可能であるという既知の事例を、任意の $\alpha$ に一般化できるか？
• RQ3 Fox $H$-関数およびMeijer $G$-関数は、安定部分順序質量の混合から生じる無条件EPPFの表現において、果たす役割は何か？
• RQ4 確率論的議論を用いて、数値的評価を回避して $H$-変換を明示的に計算できるか？
• RQ5 どの一般クラスのEPPFが、分布理論を用いて明示的解析的計算が可能か？

主な発見

• 一般の $\alpha$ に対して、条件付きEPPFはFox $H$-関数の比として表現可能であり、$\alpha=1/2$ の既知の事例をすべての $\alpha \in (0,1)$ に拡張している。
• $\alpha$ が有理数の場合、EPPFはMeijer $G$-関数の比に簡略化され、特異な特殊関数から数千ものEPPFを明示的に解析的に計算可能になる。
• 無条件EPPFが関数 $h$ によってインデックス付けられた $H$-または $G$-変換として表現可能であることが示され、$h$ が特殊関数そのものである場合にはEPPFが同様の構造を継承することが分かった。
• 最も単純な成分の計算のみを必要とする前向き再帰式が導出され、計算複雑性が著しく低減された。
• ランベールおよびベータ・ガンマクラスが、分布理論および既知の積分恒等式を用いて明示的EPPF計算が可能な大規模な家族として特定された。
• 本稿では、確率論的議論を用いて $H$-変換の明示的評価が可能であることを示し、これらの複雑な特殊関数を計算するための新しい手法を提供した。