[論文レビュー] Gibbsianness versus Non-Gibbsianness of time-evolved planar rotor models

Aernout C. D. van Enter, Wioletta M. Ruszel|ArXiv.org|Nov 22, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℤᵈ（d ≥ 2）上での平面ローター系の時間発展におけるギブス性を、スピンを円上でのブラウン運動拡散としてモデル化した確率的ダイナミクスの下で検討する。初期状態およびダイナミクスが低温・無限大温度の場合、小さな時間や高温・無限大温度の初期状態およびダイナミクスでは、発展した測度がギブス的であることが示されるが、d=2において、無限大温度ダイナミクス下での低温初期測度では、ダイナミクス場によって引き起こされる隠れた相転移のため、ギブス的でなくなる。

ABSTRACT

We study the Gibbsian character of time-evolved planar rotor systems on Z^d, d at least 2, in the transient regime, evolving with stochastic dynamics and starting with an initial Gibbs measure. We model the system by interacting Brownian diffusions, moving on circles. We prove that for small times and arbitrary initial Gibbs measures ν, or for long times and both high- or infinite-temperature measure and dynamics, the evolved measure ν^t stays Gibbsian. Furthermore we show that for a low-temperature initial measure ν, evolving under infinite-temperature dynamics thee is a time interval (t_0, t_1) such that ν^t fails to be Gibbsian in d=2.

研究の動機と目的

• 時間発展した平面ローター系の測度が確率的ダイナミクスの下でギブス的であるかどうかを特定すること。
• 一時的領域における初期温度、ダイナミクス温度、ギブス性の相互作用を分析すること。
• 確率的時間発展中にギブス性が失われるか保たれる条件を同定すること。
• 反射正則性および条件付き確率の技法を用いて、離散スピンの既知の結果を、円上での連続的コンパクトスピンに拡張すること。

提案手法

• スピンがℤᵈ上で円上を確率的に発展する、相互作用をもつブラウン運動拡散として系をモデル化する。
• 無限体極限における対称性の破れと正規ギブズ測度の構成のため、反射正則性を用いる。
• 右半平面または左半平面に無限大クラスタが存在するという条件下での条件付き確率を定義する。
• DLR形式を用いて、summableな相互作用ポテンシャルの存在によってギブス性を特徴付ける。
• 反射 r₁ に関する系の対称性を用いて、対称性の破れが非ギブス性を示すことの証明を行う。
• 尾事象が偶数の平行移動に関して不変であることに着目し、条件付き測度がギブズ的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面ローター系の時間発展測度がどのような条件下でギブス的であるか。
• RQ2 無限大温度ダイナミクス下で、連続的コンパクトスピン系において非ギブス性が出現しうるか。
• RQ3 2次元において、無限大温度ダイナミクス下で低温初期測度が発展する際、ギブス性が保持されるか。
• RQ4 非ギブス性は、離散スピン系におけるように、連続的コンパクトスピンモデルでも可逆的か。
• RQ5 反射正則性を用いて、時間発展した連続スピン系における相転移を検出できるか。

主な発見

• 小さな時間 t および任意の初期ギブズ測度 ν に対して、時間発展測度 νᵗ はギブス的である。
• 長時間および高温・無限大温度ダイナミクスでは、初期温度にかかわらず νᵗ はギブス的のままである。
• d=2 において、無限大温度ダイナミクス下での低温初期測度 ν は、時間区間 (t₀, t₁) において非ギブス的になる。
• 非ギブス性は、ダイナミクス場によって引き起こされる隠れた相転移に起因し、反射対称性 r₁ が破れる。
• 右半平面または左半平面に無限大クラスタが存在する条件下での条件付き測度 νᵗ,ri および νᵗ,le は直交し、ギブズ的であり、対称性の破れを示している。
• この結果は、無限に多くの純粋状態をもつものも含め、任意の並進不変初期ギブズ測度に対して成り立つ。