[論文レビュー] Ginzburg-Landau Theory with Multiple Order Parameters: Microscopic Derivation and Examples

Rupert L. Frank, Marius Lemm|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 30被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、翻訳不変系において、BCS理論から多重オーダーパラメータを有するギンツブルグ＝ランダウ（GL）理論を微視的に導出する。有効ギャップ演算子 $K_{T_c}+V$ のdegenerateな基底状態が、$n$ 個のオーダーパラメータを有する結合GL理論を生じることを示している。主な結果は、球対称な相互作用 $V$ を構成し、任意の角運動量の基底状態セクターを生成できることであり、これはシュレーディンガー演算子の非degenerateな基底状態とは対照的である。

ABSTRACT

This paper consists of three parts. In part I, we microscopically derive Ginzburg--Landau (GL) theory from BCS theory for translation-invariant systems in which multiple types of superconductivity may coexist. Our motivation are unconventional superconductors. We allow the ground state of the effective gap operator $K_{T_c}+V$ to be $n$-fold degenerate and the resulting GL theory then couples $n$ order parameters. In part II, we study examples of multi-component GL theories which arise from an isotropic BCS theory. We study the cases of (a) pure $d$-wave order parameters and (b) mixed $(s+d)$-wave order parameters, in two and three dimensions. In part III, we present explicit choices of spherically symmetric interactions $V$ which produce the examples in part II. In fact, we find interactions $V$ which produce ground state sectors of $K_{T_c}+V$ of arbitrary angular momentum, for open sets of of parameter values. This is in stark contrast with Schrodinger operators $- abla^2+V$, for which the ground state is always non-degenerate. Along the way, we prove the following fact about Bessel functions: At its first maximum, a half-integer Bessel function is strictly larger than all other half-integer Bessel functions.

研究の動機と目的

• 非単純な場合を除き、多重オーダーパラメータを有するGL理論の体系的微視的導出が不足している現状に対処する。
• 有効ギャップ演算子 $K_{T_c}+V$ の任意の角運動量のdegenerateな基底状態を生成する明示的な相互作用 $V$ を構成する。
• このような相互作用がパラメータ値の開集合に対して存在することを示し、安定な多成分超伝導相を可能にする。

提案手法

• 有効ギャップ演算子 $K_{T_c}+V$ の $n$ 重degenerateな基底状態を分析することで、BCS理論からGL理論を導出する。
• 2次摂動論を用いて、BCSハミルトニアンを $n$ 個のオーダーパラメータを有する多成分GL理論に写像する。
• 有効ギャップ演算子 $K_{T_c}+V$ において、任意の角運動量の基底状態セクターを生成する明示的な球対称相互作用 $V$ を構成する。
• 関数解析的手法とベッセル関数の恒等式を用いて、$K_{T_c}+V$ のスペクトル性質を分析する。
• 最初の最大値において、半整数階のベッセル関数が、他のすべての半整数階ベッセル関数よりも厳密に大きいことを証明する。
• 導出されたGL理論を用いて、2次元および3次元における (s+d)-波および純d波超伝導状態を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効ギャップ演算子 $K_{T_c}+V$ の $n$ 重degenerateな基底状態を有する系において、BCS理論から多成分GL理論を微視的に導出可能か？
• RQ2 どのような球対称な相互作用 $V$ が、有効ギャップ演算子 $K_{T_c}+V$ において任意の角運動量の基底状態セクターを生成できるか？
• RQ3 得られた多成分GL理論は、2次元および3次元における共存するd波および (s+d)-波超伝導状態をどのように記述するか？
• RQ4 シュレーディンガー演算子 $-\nabla^2 + V$ が非degenerateな基底状態を有するにもかかわらず、$K_{T_c}+V$ の基底状態のdegeneracyが可能であるのはなぜか？
• RQ5 このような相互作用 $V$ の存在を確立するために、ベッセル関数の不等式はどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、有効ギャップ演算子 $K_{T_c}+V$ の $n$ 重degenerateな基底状態を有する系に対して、BCS理論から多成分ギンツブルグ＝ランダウ理論への微視的導出を確立した。
• パラメータ値の開集合に対して、任意の角運動量の基底状態セクターを生成する明示的な球対称相互作用 $V$ が構成された。
• この構成により、対応するシュレーディンガー演算子 $-\nabla^2 + V$ が非degenerateな基底状態を有するにもかかわらず、$K_{T_c}+V$ においてdegeneracyが可能であることが示された。
• 重要な数学的結果として、半整数階ベッセル関数の最初の最大値において、他のすべての半整数階ベッセル関数よりも厳密に大きいことが証明された。
• 導出されたGL理論は、2次元および3次元における純d波および混合 (s+d)-波超伝導状態を記述でき、非単純超伝導のための枠組みを提供する。
• 結果として、複数のオーダーパラメータが安定に共存する微視的メカニズムが得られた。