[論文レビュー] GKM theory for torus actions with non-isolated fixed points

Victor Guillemin, Tara S. Holm|ArXiv.org|Aug 1, 2003

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定点が非孤立でない場合のコンパクトなシンプレクティック多様体上のハミルトニアントーラス作用へGKM理論を拡張する。固定点成分の法空間における回転表現に基づく一般化されたGKM条件を導入し、多様体の等置不変コホモロジーが、軌道構造を符号化するグラフの等置不変コホモロジーと固定点成分の通常コホモロジーのテンソル積に同型であることを証明する。これは古典的GKM定理を非孤立固定点へ一般化する。

ABSTRACT

Let $M^{2d}$ be a compact symplectic manifold and $T$ a compact $n$-dimensional torus. A Hamiltonian action, $τ$, of $T$ on $M$ is a GKM action if, for every $p \in M^T$, the isotropy representation of $T$ on $T_pM$ has pair-wise linearly independent weights. For such an action the projection of the set of zero and one-dimensional orbits onto $M/T$ is a regular $d$-valent graph; and Goresky, Kottwitz and MacPherson have proved that the equivariant cohomology of $M$ can be computed from the combinatorics of this graph. (See \cite{GKM:eqcohom}.) In this paper we define a ``GKM action with non-isolated fixed points'' to be an action, $τ$, of $T$ on $M$ with the property that for every connected component, $F$ of $M^T$ and $ p \in F$ the isotropy representation of $T$ on the normal space to $F$ at $p$ has pair-wise linearly independent weights. For such an action, we show that all components of $M^T$ are diffeomorphic and prove an analogue of the theorem above.

研究の動機と目的

• 固定点集合が必ずしも孤立でないハミルトニアントーラス作用へGKM理論を一般化すること。
• 各固定点成分の法空間における重みの対ごとの線形独立性に基づく新しいGKM条件を定義すること。
• 多様体の等置不変コホモロジーとグラフコホモロジーおよび固定点成分コホモロジーのテンソル積との間のコホモロジー同型を確立すること。
• すべての固定点成分が微分同相であり、1次元軌道閉包が正則でラベル付けされたグラフをなすこと。
• この一般化された枠組みの幾何学的・位相的意味、特にホロノミー不変量とファイバー束構造を探索すること。

提案手法

• 各固定点成分の法空間における回転表現の重みが対ごとに線形独立であることを要件とする、非孤立固定点をもつGKM作用を定義する。
• 1次元軌道閉包と固定点成分からなる、ラベル付けされた正則な(d−m)価グラフΓを構成し、辺のラベルは同相的重みで与える。
• 古典的GKM構成を一般化した、ラベル付けされたグラフの等置不変コホモロジールーブ H(Γ, α) を定義する。
• 多様体の等置不変コホモロジー H_T(M) が、H(Γ, α) ⊗ H(F) に同型であることを証明する。ここでFは任意の固定点成分である。
• モース理論とホロノミーを用いて、群準同型 Θ: π₁(Γ, F) → Diff(F)（複素多様体の場合には Bihol(F)）を定義し、M がファイバー積でないことを測る。
• 各1次元軌道閉包 W_i が、固定点成分上に取り付けられた複素線束 L に対して ℙ(L ⊕ ℂ) に微分同相であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GKM理論は、固定点が孤立でない場合に、どのような条件下で拡張可能か？
• RQ2 固定点集合および軌道空間の構造は、多様体の等置不変コホモロジーにどのような制約を課えるか？
• RQ3 このような作用における1次元軌道閉包の位相的・幾何学的構造は何か？
• RQ4 ホロノミー不変量は、多様体が固定点成分上へのファイバー束であるかどうかをどれほど正確に特定できるか？
• RQ5 一般化されたGKM同型 H_T(M) ≃ H(Γ, α) ⊗ H(F) は、具体的な例における等置不変コホモロジーの計算に応用可能か？

主な発見

• 固定点集合 M^T のすべての連結成分は互いに微分同相であり、次元は 2m である。
• 各1次元軌道閉包 W_i は、次元 2m+2 のシンプレクティック部分多様体であり、複素線束 L に対して ℙ(L ⊕ ℂ) に微分同相である。
• 1次元軌道閉包は固定点成分でのみ交わり、各固定点成分はちょうど d−m 個の閉包に属する。
• 等置不変コホモロジールーブ H_T(M; ℂ) は、グラフコホモロジー H(Γ, α) と固定点成分 F の通常コホモロジー H(F; ℂ) のテンソル積に同型である。
• ホロノミー準同型 Θ: π₁(Γ, F) → Diff(F)（Kählerの場合には Bihol(F)）が定義され、M がF上にGKM多様体をファイバーとするファイバー束であれば、この準同型は消える。
• グラフΓは正則な(d−m)価ラベル付きグラフであり、辺ラベルは同相的重みで与えられ、トーラス作用と整合的である。