[論文レビュー] (GL(2n,C),SP(2n,C)) is a Gelfand Pair

Eitan Sayag|ArXiv.org|May 19, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の $Sp_{2n}(\bar{\mathbb{C}}) \times Sp_{2n}(\bar{\mathbb{C}})$-不変な $GL_{2n}(\bar{\mathbb{C}})$ 上の分布が転置に関しても不変であることを示すことにより、$(GL_{2n}(\bar{\mathbb{C}}), Sp_{2n}(\bar{\mathbb{C}}))$ が Gelfand 対であることを証明する。主な結果は、$GL_{2n}(\bar{\mathbb{C}})$ の任意の既約な滑らかで適切な Fréchet表現 $\pi$ に対して、表現空間上の $Sp_{2n}(\bar{\mathbb{C}})$-不変線型汎関数の空間が高々一様次元であることである。これは $p$-進の場合に知られている結果を、分布的基準と対称対理論を用いてアーチメデス的設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We prove that (GL_{2n}(C),Sp_{2n}(C)) is a Gelfand pair. More precisely, we show that for an irreducible smooth admissible Frechet representation (π,E) of GL_{2n}(C) the space of continuous functionals Hom_{Sp_{2n}(\cc)}(E,C) is at most one dimensional. For this we show that any distribution on GL_{2n}(C) invariant with respect to the double action Sp_{2n}(C) imes Sp_{2n}(C) is transposition invariant. Such a result was previously proven for p-adic fields by M. Heumos and S. Rallis.

研究の動機と目的

• $p$-進体 $F$ に対して既に知られている $(GL_{2n}(F), Sp_{2n}(F))$ が Gelfand 対であるという結果を、$F = \mathbb{C}$ のアーチメデス的状況へと拡張すること。
• 任意の $GL_{2n}(\mathbb{C})$ の既約な滑らかで適切な Fréchet表現 $\pi$ に対して、空間 $\mathrm{Hom}_{Sp_{2n}(\mathbb{C})}(\pi, \mathbb{C})$ が高々一様次元であることの確立。
• Gelfand-Kazhdan の分布的基準を用いて、$GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上の $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$-不変分布が転置に関して不変であることを証明すること。
• 文献 [AGS] および [AG2] の枠組みで要求されるように、対称対 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ が良いものであり、すべてのその子孫が正則であることの確認。

提案手法

• Gelfand-Kazhdan の分布的基準を用い、Gelfand 対の性質を示すための帰着を、$Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$-不変な $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上の任意の分布が転置に関して不変であることを示すことへ行う。
• 対称対の理論、特に子孫や正則性の概念を用いて、対称対 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ の構造を分析する。
• 半単純元 $x \in GL_{2n}(\mathbb{C})$ で、反自己同型 $\sigma(g) = J_{2n}^{-1} {}^t g J_{2n}$ に関して $\sigma(x) = x$ を満たすものに対して、中心化子 $G_x$ が $GL(V_i, E_i)$ の積に分解されることを示す。ここで $V_i$ は $E_i = \mathbb{C}[t]/(P_i(t))$ 上の $E_i$-ベクトル空間である。
• 群 $Sp_{2n}(\mathbb{C})$ の $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上の作用が、中心化子 $G_x$ および安定化部分群 $H_x$ を、$\mathbb{C}$ の有限拡大 $E_i$ 上のシミレクティック群の積に分解することを示す。
• $J: V \to V^*$ が各 $V_i$ に制限されると、非退化な歪対称形式を定め、各 $V_i$ が $E_i$ 上のシミレクティック空間となることから、子孫対は $E_i$ 上の $(GL(W), Sp(W))$ の形をした対称対の積に同型であることを示す。
• [AGS] および [AG2] の良い対および正則対に関する結果を活用し、$Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$-不変分布の転置不変性が成り立つことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称対 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ は Gelfand 対か？
• RQ2 任意の $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$-不変な $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上の分布は、転置に関して不変か？
• RQ3 対称対 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ のすべての子孫は正則であり、かつその対は良いか？
• RQ4 Gelfand-Kazhdan の基準はアーチメデス的状況下でも $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ の Gelfand 対性を証明するために適用可能か？
• RQ5 反自己同型 $\sigma$ がシミレクティック形式に対応するとき、$x = \sigma(x)$ を満たす半単純元 $x \in GL_{2n}(\mathbb{C})$ の中心化子の構造は何か？

主な発見

• $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ は Gelfand 対であり、これは任意の $GL_{2n}(\mathbb{C})$ の既約な滑らかで適切な Fréchet表現 $\pi$ に対して、空間 $\mathrm{Hom}_{Sp_{2n}(\mathbb{C})}(\pi, \mathbb{C})$ が高々一様次元であることと同値である。
• 任意の $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$-不変な $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上の分布は、転置に関して不変である。これは Gelfand-Kazhdan 基準の鍵となるステップである。
• 対称対 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ は良いものであり、すべての子孫が正則である。これは [AGS] および [AG2] の枠組みで要求される条件を満たす。
• 半単純元 $x \in GL_{2n}(\mathbb{C})$ で $x = \sigma(x)$ を満たすものに対して、中心化子 $G_x$ は $\prod_{i=1}^n GL(V_i, E_i)$ の形に分解され、ここで $V_i$ は $E_i = \mathbb{C}[t]/(P_i(t))$ 上の $E_i$-ベクトル空間であり、$P_i$ は $x$ の最小多項式の既約因子である。
• 安定化部分群 $H_x = G_x \cap Sp_{2n}(\mathbb{C})$ は $\prod_{i=1}^n Sp(V_i, J_i)$ に分解され、ここで $J_i$ は $V_i$ へのシミレクティック形式の制限であり、各 $V_i$ が $E_i$ 上のシミレクティック空間となる。
• 対称対 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ の子孫は、$\mathbb{C}$ の有限拡大 $E_i$ 上の $(GL(W), Sp(W))$ の形をした対称対の積であり、$\dim_E(W) \leq \dim_{\mathbb{C}}(V)$ を満たす。