[論文レビュー] (GL(n+1,R),GL(n,R)) is a Gelfand pair

Avraham Aizenbud, Dmitry Gourevitch+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2007

Advanced Algebra and Geometry被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、任意の局所体 F に対して、対 (GL(n+1,F), GL(n,F)) が Gelfand 対であることを、GL(n+1,F) 上の GL(n,F) × GL(n,F)-不変分布がすべて転置に関して不変であることを示すことによって証明する。このことは、GL(n+1,F) の任意の既約適切表現が、高々一つの GL(n,F)-不変ベクトルを持つことを意味し、表現論および調和解析において重要な性質である。

ABSTRACT

Let F be an arbitrary local field. Consider the standard embedding of GL(n,F) into GL(n+1,F) and the two-sided action of GL(n,F) imes GL(n,F) on GL(n+1,F). In this paper we show that any GL(n,F) imes GL(n,F)-invariant distribution on GL(n+1,F) is invariant with respect to transposition. We show that this implies that the pair (GL(n+1,F),GL(n,F)) is a Gelfand pair. Namely, for any irreducible admissible representation $(\pi,E)$ of (GL(n+1,F), $$dimHom_{GL(n,F)}(E,\cc) \leq 1.$$ For the proof in the archimedean case we develop several new tools to study invariant distributions on smooth manifolds.

研究の動機と目的

• 任意の局所体 F に対して、(GL(n+1,F), GL(n,F)) が Gelfand 対であることを確立すること。
• GL(n+1,F) 上の GL(n,F) × GL(n,F)-不変分布がすべて転置に関して不変であることを証明すること。
• この転置不変性が、GL(n,F)-不変線型汎関数の多重度1性質を示すことにつながることを示すこと。
• アーチメデス型の場合における滑らかな多様体上の不変分布を分析するための新しい道具を構築すること。

提案手法

• GL(n,F) を GL(n+1,F) に標準的埋め込みることで、GL(n,F) × GL(n,F) による GL(n+1,F) 上の両側作用を定義する。
• GL(n,F) × GL(n,F)-不変分布を分析し、転置自己同型に関して不変であることを証明する。
• 転置不変性を活用して、対 (GL(n+1,F), GL(n,F)) が Gelfand 性質を満たすことを導出する。
• 特にアーチメデス型設定において、滑らかな多様体上の不変分布を研究するための新しい技法を開発する。
• 表現論的道具を用いて、任意の GL(n+1,F) の既約適切表現 (π, E) に対して dim Hom_{GL(n,F)}(E, C) ≤ 1 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の局所体 F に対して、GL(n+1,F) 上の GL(n,F) × GL(n,F)-不変分布は、常に転置に関して不変であるか？
• RQ2 このような分布の転置不変性は、(GL(n+1,F), GL(n,F)) が Gelfand 対であることを示唆するか？
• RQ3 分布論的手法を用いて、GL(n,F)-不変汎関数の多重度1性質を確立できるか？
• RQ4 アーチメデス型の場合における滑らかな多様体上の不変分布を分析するためには、どのような新しい道具が必要か？

主な発見

• GL(n+1,F) 上のすべての GL(n,F) × GL(n,F)-不変分布は、転置自己同型に関して不変である。
• この転置不変性は、対 (GL(n+1,F), GL(n,F)) が Gelfand 対であることを示す。
• 任意の GL(n+1,F) の既約適切表現 (π, E) に対して、E 上の GL(n,F)-不変線型汎関数の空間の次元は高々1である。
• 本稿では、特にアーチメデス型の場合において、滑らかな多様体上の不変分布を研究するための新しい解析的道具が開発された。
• 結果は、非アーチメデス型およびアーチメデス型の両方を含む、すべての局所体 F に対して一様に成り立つ。