[論文レビュー] Glass transition of a particle in a random potential, front selection in nonlinear RG and entropic phenomena in Liouville and SinhGordon models

David Carpentier, Pierre Le Doussal|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2000

Theoretical and Computational Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形レノルミズーション群（RG）法、厳密な境界、数値解析を用いて、対数的空間相関を持つd次元ガウス確率ポテンシャル内の粒子のガラス転移を研究している。すべてのd≥1において、T=Tc>0の有限温度ガラス転移が存在することが特定され、低温相では再帰的対称性破れ（RSB）が顕在化し、少数の遠く離れた状態が支配的である。この転移は普遍的であり、極値統計、KPP型RG方程式、およびd=2におけるリーマン・シュミット・ゴンザレス模型やリーマン模型との関連と関連している。また、ディラックフェルミオンの局在化や多分形スペクトルへの応用が示唆される。

ABSTRACT

We study via RG, numerics, exact bounds and qualitative arguments the equilibrium Gibbs measure of a particle in a $d$-dimensional gaussian random potential with {\it translationally invariant logarithmic} spatial correlations. We show that for any $d \ge 1$ it exhibits a transition at $T=T_c>0$. The low temperature glass phase has a non trivial structure, being dominated by {\it a few} distant states (with replica symmetry breaking phenomenology). In finite dimension this transition exists only in this ``marginal glass'' case (energy fluctuation exponent $θ=0$) and disappears if correlations grow faster (single ground state dominance $θ>0$) or slower (high temperature phase). The associated extremal statistics problem for correlated energy landscapes exhibits universal features which we describe using a non linear (KPP) RG equation. These include the tails of the distribution of the minimal energy (or free energy) and the finite size corrections which are universal. The glass transition is closely related to Derrida's random energy models. In $d=2$ the glass transition of the particle exhibits interesting similarities with the weak to strong coupling transition in Liouville ($c=1$ barrier) and with a transition that we conjecture for the sinh-Gordon model. Glassy freezing of the particle is associated with the generation under RG of new local operators and of non-smooth configurations in Liouville. Applications to Dirac fermions in random magnetic fields at criticality reveals a peculiar ``quasi-localized'' regime (the glass phase for the particle) where eigenfunctions are concentrated over {\it a finite number} of distant regions, and allows to recover the multifractal spectrum.

研究の動機と目的

• d次元ガウス確率ポテンシャルに、対数的空間相関を持つ粒子の平衡統計力学を理解すること。
• 有限次元において、エネルギーフラクチュエーション指数θ=0の臨界定常状況において、有限温度ガラス転移が存在するかどうかを特定すること。
• ガラス転移、非線形RG（KPP方程式）およびd=2における正確に解ける模型（リーマン模型やシュミット・ゴンザレス理論など）との関連を確立すること。
• ガラス相の局在化物理学、特にランダム磁場中のディラックフェルミオンおよび臨界定常波動関数の多分形スペクトルへの影響を検討すること。

提案手法

• 自由エネルギーの前縁伝播を記述するKPP型方程式に非線形レノルミズーション群（RG）法を適用する。
• 極値統計とKPP方程式を用いて、最小エネルギー分布の尾部および有限サイズ補正を記述する。
• ガブス測度および不規則性を伴う相構造を分析するための厳密な境界と定性的な議論を用いる。
• コンフォールム場理論およびRG解析を介して、d=2における粒子問題をリーマン模型およびシュミット・ゴンザレス模型に写像する。
• バックグラウンドポテンシャルおよび不規則性を伴う自由エネルギーおよび粒子の局在化を、数値的かつ解析的に取り扱う。
• 低温ガラス相が少数の遠く離れた状態によって支配される状況を記述する再帰的対称性破れ（RSB）の物理的モデルを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的空間相関を持つ粒子-確率ポテンシャル模型において、d≥1の範囲で有限温度ガラス転移が存在するか？
• RQ2 ガラス転移は、相関エネルギーランドスケープの極値統計と非線形KPP RG方程式とどのように関連しているか？
• RQ3 ガラス転移と2次元リーマン模型における弱-強結合転移との関連は何か？
• RQ4 シュミット・ゴンザレス模型は同様の転移を示すことができ、それは粒子ガラス相とどのように関連しているか？
• RQ5 ガラス相は、ディラックフェルミオンの局在化および臨界定常波動関数の多分形スペクトルにどのような影響を及えるか？

主な発見

• エネルギーフラクチュエーション指数θ=0の臨界定常状況において、すべてのd≥1でT=Tc>0の有限温度ガラス転移が存在する。θ>0の場合は単一の基底状態（非転移）、θ<0の場合は高温相（非局在化）となるため、この転移は存在しない。
• 低温ガラス相は少数の遠く離れた状態によって支配され、再帰的対称性破れ（RSB）の物理的性質を示し、非自明なガブス測度構造を有する。
• ガラス転移は非線形KPP RG方程式によって支配され、β=βcにおける前縁速度の凍結が転移を示す。自由エネルギー分布P(f)∼e^{βcf}（f<0）の普遍的尾部が得られる。
• d=2では、粒子ガラス転移はリーマン理論におけるc=1の障壁およびシュミット・ゴンザレス模型における予想される転移と密接に関連しており、正確な結果とRGフローの対応が成立する。
• ガラス相は、ランダム磁場中のディラックフェルミオンにおける「準局在化」領域に対応し、固有関数が有限個の遠く離れた領域に集中する。また、局在化していない相においても多分形スペクトルを回復可能である。
• 相図には3つの相が存在する：高温（非局在化）、局在（ガラス）、原点への束縛（束縛）。多臨界定常点では転移が連続的になり、束縛相の境界付近でクロスオーバーが観測される。