[論文レビュー] Global and local regularity of Fourier integral operators on weighted and unweighted spaces

David Dos Santos Ferreira, Wolfgang Staubach|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Apr 1, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 37被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、非退化条件の下で滑らかでない（粗い）振幅および位相関数を有するフーリエ積分作用素の、重み付き $L^p$ 空間におけるグローバルおよびローカルの有界性を確立し、Muckenhoupt $A_p$ 重みを用いて古典的な $L^p$ 結果を重み付き空間へ拡張する。主な貢献は、BMO関数との交換子に対する新たな推定を可能にする鋭い重み付き $L^p$ 有界性定理の確立である。

ABSTRACT

We investigate the global continuity on $L^p$ spaces with $p\in [1,\infty]$ of Fourier integral operators with smooth and rough amplitudes and/or phase functions subject to certain non-degeneracy conditions. We initiate the investigation of the continuity of smooth and rough Fourier integral operators on weighted $L^{p}$ spaces, $L_{w}^p$ with $1< p < \infty$ and $w\in A_{p},$ (i.e. the Muckenhoput weights), and establish weighted norm inequalities for operators with rough and smooth amplitudes and phase functions satisfying a suitable rank condition. These results are then applied to prove weighted and unweighted estimates for the commutators of Fourier integral operators with functions of bounded mean oscillation BMO, then to some estimates on weighted Triebel-Lizorkin spaces, and finally to global unweighted and local weighted estimates for the solutions of the Cauchy problem for $m$-th and second order hyperbolic partial differential equations on $\mathbf{R}^n .$

研究の動機と目的

• 滑らかでない（粗い）振幅および位相関数を有するフーリエ積分作用素が、Muckenhoupt $A_p$ 重み付き $L^p$ 空間上でのグローバルおよびローカル $L^p$ 有界性を確立すること。
• 特に、振幅が $S^m_{\rho,\rho}$ に属し、非退化位相関数を有する場合の、古典的な非重み付き $L^p$ 有界性結果を重み付き設定へ拡張すること。
• フーリエ積分作用素とBMO関数との交換子に対する重み付きノルム不等式を導出すること。
• 重み付き有界性理論を応用し、$\mathbb{R}^n$ 上の $m$ 次および2次非線形双曲型初期値問題の解について、グローバル非重み付きおよびローカル重み付き推定を得ること。

提案手法

• 振幅および位相関数が非退化条件を満たすHörmander型記号クラス $S^m_{\rho,\rho}$ の使用、特に混合ヘッセ行列のランク条件および非零行列式を含む。
• 特に拡張および重み付き乗数定理を用いた、Muckenhoupt $A_p$ 重みによる重み付きノルム不等式の応用。
• Triebel-Lizorkin空間およびBMO空間の理論を用いて、ベクトル値不等式および交換子推定を導出すること。
• 双曲型初期値問題の解のフーリエ積分作用素表現（位相関数が $\Phi^2$ に属し、振幅が $S^{-j}_{1,0}$ に属する）を用いて、重み付きおよび非重み付き推定を導出すること。
• 定理 3.4.4 および重み付き $L^p$ 有界性結果を活用し、$H^s_w$ 空間における解のローカル重み付き推定を証明すること。
• 空間的局在化および条件 $\mathrm{rank}\,\partial^2_{\xi\xi}\varphi = n-1$ を用いて、双曲型問題における $t \neq 0$ 近傍での作用素の挙動を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振幅が粗いか滑らかで、非退化位相関数を有するフーリエ積分作用素が、$w \in A_p$ である重み付き $L^p$ 空間で有界となる条件は何か？
• RQ2 重み付き $L^p$ 有界性が、BMO関数との交換子の有界性をどのように確立できるか？
• RQ3 関連するフーリェ積分作用素のグローバルおよびローカル有界性を用いて、$m$ 次および2次非線形双曲型PDEの解について、どのような重み付きおよび非重み付き推定を得られるか？
• RQ4 双曲型初期値問題の解について、グローバルまたはローカル重み付き $L^p$ 推定を保証するための初期データの鋭い正則性の必要条件は何か？
• RQ5 位相関数の非退化条件（例えば $\det \partial^2_{x\xi}\varphi \neq 0$ または $|\det_{n-1} \partial^2_{\xi\xi}\varphi| \geq c > 0$）が、重み付きおよび非重み付き $L^p$ 空間におけるフーリエ積分作用素の有界性にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、振幅が $S^m_{\rho,\rho}$ に属し、非退化条件を満たす位相関数を有するフーリエ積分作用素について、すべての $p \in (1,\infty)$ および $w \in A_p$ に対して、鋭い重み付き $L^p$ 有界性定理を確立した。
• 振幅が $L^∞u S^{-\frac{n+1}{2}\rho + n(\rho - 1)}_{\rho}$ に属する場合（$\rho \in [0,1]$）、BMO関数との $k$ 階交換子はすべての $p \in (1,\infty)$ および $w \in A_p$ に対して $L^p_w$ 上で有界である。これは定理 4.2.5 で示された。
• $m$ 次非線形双曲型初期値問題の解について、解のフーリエ積分作用素表現を用いて、グローバル非重み付き $L^p$ 推定を得た。推定式は $t \in [-T,T]$ に対して $\|u(\cdot,t)\|_{H^{s-\varepsilon,p}} \leq C_T \sum_{j=0}^{m-1} \|f_j\|_{H^{s+m_p-j,p}}$ である。
• 2次非線形双曲型方程式について、ローカル重み付き推定を導出した：$t \in [-T,T]\setminus\{0\}$ に対して $\|\chi u(\cdot,t)\|_{H^{s,p}_w} \leq C_T \sum_{j=0}^{1} \|f_j\|_{H^{s+\frac{n+1}{2}-j,p}_w}$ および $w \in A_p$ を満たす条件の下で、$\mathrm{rank}\,\partial^2_{\xi\xi}\varphi = n-1$ を仮定する。
• 滑らかでない（粗い）振幅および位相関数の両方に対して、結果が有効であり、後者には粗い非退化条件が必要である。これにより、以前の $L^p$ 有効性結果の適用範囲が拡張された。
• グローバル非重み付き $L^p$ 有効性と重み付き $L^p$ 結果の関係を確立し、拡張および重み付き乗数定理を用いて、ベクトル値不等式および交換子推定を導出可能とした。