[論文レビュー] Global and touchdown behaviour of the generalized MEMS device equation

Kin Ming Hui|ArXiv.org|Aug 1, 2008

Advanced MEMS and NEMS Technologies参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界領域 $\Omega$ 内で定義された一般化されたマイクロエレクトロメカニカルシステム（MEMS）方程式 $u_t = \Delta u + \lambda f(x)/g(u)$ に対して、有限のプルイン電圧 $\lambda^*$ の存在を確立する。$\lambda < \lambda^*$ の場合、解は全域的に存在し、$\lambda > \lambda^*$ の場合、解は有限時間内で爆発（タッチダウン）することを証明する。さらに、初期条件が弱い条件下で、全域的解は $t \to \infty$ のとき定常解に収束することを示し、エネルギー法および固有関数法を用いてタッチダウン時間の明示的上界を提供する。

ABSTRACT

We prove the local and global existence of solutions of the generalized micro-electromechanical system (MEMS) equation $u_t =Δu+λf(x)/g(u)$, $u&lt;1$, in $Ω imes (0,\infty)$, $u(x,t)=0$ on $\partialΩ imes (0,\infty)$, $u(x,0)=u_0$ in $Ω$, where $Ω\subset\Bbb{R}^n$ is a bounded domain, $λ&gt;0$ is a constant, $0\le f\in C^α(\overlineΩ)$, $f ot\equiv 0$, for some constant $00$ such that the associated stationary problem has a solution for any $0\leλλ^*$. We obtain comparison theorems for the generalized MEMS equation. Under a mild assumption on the initial value we prove the convergence of global solutions to the solution of the corresponding stationary elliptic equation as $t o\infty$ for any $0\leλ0$ for the solution $u$. That is a time $T&gt;0$ such that $\lim_{t earrow T}\sup_Ωu(\cdot,t)=1$.

研究の動機と目的

• 有界領域 $\Omega$ 内で定義された一般化された MEMS 方程式 $u_t = \Delta u + \lambda f(x)/g(u)$ に対する臨界的プルイン電圧 $\lambda^*$ の存在を確立すること。
• 関数 $f$, $g$ および初期データ $u_0 \leq a < 1$ に対して一般な条件下で解の局所的および大域的存在を証明すること。
• 大域的解の漸近的挙動を分析し、$\lambda < \lambda^*$ の場合に $t \to \infty$ のとき定常解に収束することを示すこと。
• 有限時間内にタッチダウンが発生する十分条件を導出すること、すなわち、ある $T < \infty$ に対して $\lim_{t \nearrow T} \sup_\Omega u(\cdot,t) = 1$ が成り立つこと。
• エネルギー法およびスペクトル論を用いて、タッチダウン時間 $T$ の明示的上界を提供すること。

提案手法

• サブ・スーパーソリューション技法および変分法を用いて、定常問題 $-\Delta v = \lambda f(x)/g(v)$ の解の存在および非存在を証明する。
• 比較原理および $L^1$-型関数空間における固定点法を用いて、放物型 MEMS 方程式の局所的および大域的解の存在を確立する。
• 領域 $\Omega$ における $-\Delta$ の第一固有関数 $\phi_1$ を用いて、エネルギー型推定およびタッチダウン時間の上界を導出する。
• 関数 $H(u) = \int_0^u g(s)\,ds$ を用いて、リャプノフ型エネルギー汎関数を構成し、$\int_\Omega H(u)\phi_1\,dx$ に関する微分不等式を導出する。
• 定常問題のサブソリューションである $\overline{u}_0$ を用いた比較論法により、$u$ の時間発展を上から抑える。
• 第一固有値 $\mu_1$、部分領域における $f$ の下界、および $g(s)$ の $[0,1)$ 上の挙動を用いて、タッチダウン時間 $T_\lambda$ の明示的上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の臨界値 $\lambda^* > 0$ が存在し、$\lambda < \lambda^*$ のとき定常 MEMS 問題に解が存在し、$\lambda > \lambda^*$ のときは解が存在しないということが成り立つか？
• RQ2 放物型 MEMS 方程式の解が、どのような条件下で大域的に存在し、あるいは有限時間内で爆発するか？
• RQ3 大域的解が $\lambda < \lambda^*$ のとき、$t \to \infty$ のとき定常解に収束するか？
• RQ4 解が爆発する場合、タッチダウン時間 $T_\lambda$ の有効な上界は何か？
• RQ5 特に $g(u) = (1-u)^p$ のとき、$g(u)$ の選択が解の存在および挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 正の臨界プルイン電圧 $\lambda^* > 0$ が存在し、$0 \leq \lambda < \lambda^*$ のとき定常問題に解が存在し、$\lambda > \lambda^*$ のときは解が存在しない。
• $\lambda < \lambda^*$ のとき、初期条件 $u_0$ が弱い条件下に、放物型方程式の大域的解は $t \to \infty$ のとき定常解に収束する。
• $u_0 \geq 0$ かつ $\int_{B_R(x_0)} u_0 \phi_R\,dx \geq a_1 < 1$ ならば、任意の $\lambda > 0$ に対して $T_\lambda \leq (1 - a_1)/10$ が成り立つ。
• $\lambda > \lambda_R = (\mu_R / \delta_R) \sup_{s \in [0,1]} s g(s)$ ならば、タッチダウン時間は $T_\lambda \leq \frac{1}{(\lambda - \lambda_R)\delta_R} \int_{E_1(0)}^1 g(s)\,ds$ を満たす。
• $\lambda > \mu_1 \frac{\int_0^1 g(s)\,ds}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$ ならば、$T_\lambda \leq \frac{1}{(\lambda - \lambda')} \frac{\int_\Omega H(u_0)\phi_1\,dx}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$ が成り立ち、ここで $\lambda' = \mu_1 \frac{\int_0^1 g(s)\,ds}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$ である。
• $\lambda > \lambda^*$ かつ $u_0$ が定常問題のサブソリューションによって下から抑えられているならば、解は有限時間内にタッチダウンする。すなわち、$T_\lambda < \infty$ である。