[論文レビュー] Global approximate controllability for Schrödinger equation in higher Sobolev norms and applications

Vahagn Nersesyan|ArXiv.org|May 14, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一般のポテンシャルに対して、高次のソボレフノルム $H^s$、$s>0$ におけるシュレーディンガー方程式のグローバルな近似可制御性を確立する。これは、リャプノフ型反復法を用いて達成される。また、零ポテンシャルをもつ1次元系では、$H^{5+\varepsilon}$ におけるグローバルな正確可制御性が証明され、確率的シュレーディンガー方程式が $L^2$ 単位球面上に高々1つの定常測度をもつことが示された。

ABSTRACT

We prove that the Schrödinger equation is approximately controllable in Sobolev spaces $H^s$, $s>0$ generically with respect to the potential. We give two applications of this result. First, in the case of one space dimension, combining our result with a local exact controllability property, we get the global exact controllability of the system in higher Sobolev spaces. Then we prove that the Schrödinger equation with a potential which has a random time-dependent amplitude admits at most one stationary measure on the unit sphere $S$ in $L^2 $.

研究の動機と目的

• 一般のポテンシャルに対して、高次のソボレフノルム $H^s$、$s>0$ におけるシュレーディンガー方程式のグローバルな近似可制御性を確立すること。
• 近似可制御性と局所的可制御理論を組み合わせることで、局所的正確可制御性の結果を高次の正則性空間へと拡張し、グローバルな正確可制御性を達成すること。
• 確率的シュレーディンガー方程式の $L^2$ 単位球面上における定常測度の一意性を証明すること。
• 可制御性の議論を支援するため、分離可能なポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を分析すること。
• システムが近似可制御性をもつポテンシャルの集合が、滑らかなポテンシャルの空間において残渣的（residual）であることを示すこと。

提案手法

• $H^2$ ノルムの制御にリャプノフ関数のアプローチを用い、それを反復的スキームにより高次のソボレフノルムへ一般化する。
• 摂動法を適用：任意の初期状態 $z_0$ に対して、$\mathcal{V}(z(T,u)) < \mathcal{V}(z_0)$ を満たす制御 $u$ を構成する。ここで $\mathcal{V}$ はリャプノフ関数である。
• 軌道に沿った $\mathcal{V}$ の微分を用いて、値を厳密に減少させられることを示し、これにより反復的収束が可能となる。この収束により、目標固有状態へ到達可能となる。
• 近似可制御性の結果と、Beauchard の $H^7$ における局所的正確可制御性を組み合わせることで、$m=1$、$V=0$、および一般の $Q$ に対して、$H^{5+\varepsilon}$ におけるグローバルな正確可制御性が導かれる。
• 分離可能なポテンシャル $Q(x) = P(x_1) + R(x_2) + \cdots + R(x_m)$ のスペクトル解析を用いて、一般性条件を満たす固有値配置を構成する。
• 解析的曲線技術を用いて、任意の滑らかなポテンシャルを接続し、残渣的集合上で固有関数の二乗和が恒等的にゼロでないことを証明することで、一般性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の滑らかなポテンシャル $Q$ に対して、$s>0$ における $H^s$ でシュレーディンガー方程式は近似可制御的か？
• RQ2 近似可制御性と局所的正確制御結果を組み合わせることで、1次元空間で $H^{5+\varepsilon}$ におけるグローバルな正確可制御性を達成できるか？
• RQ3 時間に依存する確率的振幅をもつ確率的シュレーディンガー方程式は、$L^2$ 単位球面上に高々1つの定常測度をもつのか？
• RQ4 固有関数の二乗和が一般のポテンシャルに対して恒等的にゼロでないことを保証するスペクトル的条件は何か？
• RQ5 システムが近似可制御的であるポテンシャルの集合が、$C^\infty(\overline{D}, \mathbb{R})$ において残渣的であるか？

主な発見

• 一般の滑らかなポテンシャル $Q$ に対して、任意の $s>0$ でシュレーディンガー方程式は $H^s$ において近似可制御的であり、これは任意の初期状態が $-\Delta + V$ の任意の固有状態に、これらのノルム内での任意の近さに到達可能であることを意味する。
• $m=1$ および $V=0$ の場合、一般の $Q$ に対して $H^{5+\varepsilon}$ におけるグローバルな正確可制御性が成立する。これは、近似可制御性の結果と Beauchard の $H^7$ における局所的正確可制御性を組み合わせることで達成される。
• 時間に依存する確率的振幅をもつ確率的シュレーディンガー方程式は、$L^2$ 単位球面上に高々1つの定常測度をもつ。これは、一様なFeller性と遷移半群の再起性に起因する。
• $H^s$ における近似可制御性をもつポテンシャル $Q$ の集合は、$C^\infty(\overline{D}, \mathbb{R})$ において残渣的であり、これは結果の一般性を示している。
• 任意の有限個の固有値および係数 $\alpha_k$ に対して、$\sum_{k=1}^N \alpha_k (e_{k,Q}^D)^2$ は一般の $Q$ に対して恒等的にゼロでない。これは摂動法における微分の非退化性を保証する。