[論文レビュー] Global Attractivity and Extinction for Lotka-Volterra systems with infinite delay and feedback controls

Teresa Faria, Yoshiaki Muroya|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限分布遅れとフィードバック制御を伴うn種のロトカ・ヴォリエラ系について、即時の自己制限が遅れ効果を上回る弱い対角優位性条件下で、グローバル吸引性および絶滅の基準を確立する。飽和平衡の存在を証明し、リャプノフ関数形を用いずに、相互作用項の符号制限も課さずに、そのグローバル吸引性または種の絶滅の十分条件を提示する。

ABSTRACT

The paper deals with a multiple species Lotka-Volterra model with infinite distributed delays and feedback controls, for which we assume a weak form of diagonal dominance of the instantaneous negative intra-specific terms over the infinite delay effect in both the population variables and controls. General sufficient conditions for the existence and attractivity of a saturated equilibrium are established. When the saturated equilibrium is on the boundary of $\R^n_+$, sharper criteria for the extinction of all or part of the populations are given. While the literature usually treats the case of competitive systems only, here no restrictions on the signs of the intra- and inter-specific delayed terms are imposed. Moreover, our technique does not require the construction of Lyapunov functionals.

研究の動機と目的

• 無限遅れとフィードバック制御を伴うn種のロトカ・ヴォリエラ系の長期的挙動を分析すること。
• 即時の自己制限が遅れ効果を上回る弱い対角優位性の下で、飽和平衡のグローバル吸引性を保証する十分条件を確立すること。
• 飽和平衡が非負の直交座標系の境界上にある場合に、種のすべてまたは一部が絶滅するための鋭い基準を導出すること。
• 従来の研究を拡張し、種内および種間の遅れ項に符号制限を課さず、リャプノフ関数形の構成を回避すること。
• フィードバック制御がグローバルに吸引的な平衡の位置をどのようにシフトさせるかを示し、絶滅した種の回復や捕食者の絶滅を可能にする。

提案手法

• 研究では、即時の自己制限係数が各種のネット遅れ効果を上回ることを要請する弱い対角優位性の形式を採用する。
• 系は、全質量が1に規格化され、可積分性および連続性条件を満たす無限遅れカーネル $ K_{ij}, G_i $ を持つ結合関数微分方程式としてモデル化される。
• 分析は比較原理と行列理論的道具に依拠し、特に安定性および吸引性を評価するためにM行列およびその一般化逆行列の使用が行われる。
• 飽和平衡は、時間微分を0に設定することで得られる代数方程式系の解として定義され、成分は系のパラメータによって決定される。
• フィードバック制御は、補助方程式 $ u_i'(t) = -e_i u_i(t) + d_i x_i(t) $ を通じて導入され、内在的成長率を変えることなく、人口動態を調整する。
• 本手法はリャプノフ関数形の構成を回避し、代わりに固有値および行列解析を用いてグローバル吸引性および絶滅の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遅れとフィードバック制御を伴うロトカ・ヴォリエラ系において、飽和平衡が存在し、すべての正の解を吸引する条件は何か？
• RQ2 フィードバック制御がなければ絶滅する可能性がある種を防ぐために、どのようにフィードバック制御を用いることができるか？
• RQ3 飽和平衡が $ \rm I\rm R^n_+ $ の境界上にある場合に、種が絶滅する条件は何か？
• RQ4 相互作用係数に符号の混合がある場合でも、リャプノフ関数形を構成せずにグローバル吸引性を確立できるか？
• RQ5 無限遅れの導入は、有限遅れモデルと比較して、制御付きロトカ・ヴォリエラ系の安定性および長期的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 即時の自己制限係数 $ \nu_i $ が $ \nu_i - |a_{ii}| - c_i \frac{d_i}{e_i} \neq 0 $ を満たし、関連する行列 $ \tilde{M} $ がM行列である場合、飽和平衡が存在し、グローバルに吸引的である。
• 飽和平衡が $ \rm I\rm R^n_+ $ の境界上にある場合、$ \nu_i - a_{ii}^- \neq 0 $ かつ行列 $ \tilde{M}_0 $ がM行列であれば、すべてまたは一部の種が絶滅する。
• $ b_1 > 0, b_2 \to 0 $ である二種系において、$ \nu_1 - |a_{11}| - c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq 0 $ であれば、種2の絶滅が保証され、この条件下で平衡 $ E_1 $ はグローバルに吸引的である。
• $ b_2 < 0 $ である捕食者・被捕食者系において、$ c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq 0 $ かつ $ c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq \frac{1}{10} $ であれば、フィードバック制御により捕食者の絶滅を強制できる。このとき $ E_1 $ はグローバルに吸引的である。
• 正の平衡がグローバルに吸引的である明示的条件が提示される。例えば、$ \tilde{M} $ がM行列であり、$ \nu_i - |a_{ii}| - c_i \frac{d_i}{e_i} \neq 0 $ であれば、すべての正の解が平衡に吸引される。
• 結果は相互作用係数の符号の変動に対して頑健である。本手法は $ a_{ij} $ が負である場合（例：捕食者・被捕食者）にも適用可能であり、多くの先行研究が競争系に限定されているのとは対照的である。