[論文レビュー] Global attractivity for some classes of Riemann--Liouville fractional differential systems

Hoang The Tuan, Adam Czornik+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Bielecki型ノルムとBanach不動点定理を用いて、多変数Riemann–Liouville型分数階微分方程式系に対する解の存在およびグローバルアトラクト性を確立する。Mittag-Leffler関数の性質を活用することで、時間変動する摂動を伴う線形系の解が、システム行列および駆動項に特定の減衰性・有界性条件が成立する場合、零に収束することを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we present some results for existence of global solutions and attractivity for mulidimensional fractional differential equations involving Riemann-Liouville derivative. First, by using a Bielecki type norm and Banach fixed point theorem, we prove a Picard-Lindelöf type theorem on the existence and uniqueness of solutions. Then, applying the properties of Mittag-Leffler functions, we describe the attractivity of solutions to some classes of Riemann--Liouville linear fractional differential systems.

研究の動機と目的

• 多変数Riemann–Liouville型分数階微分方程式系の初期値問題が (0, ∞) 上で一意なグローバル解を有することを確立すること。
• 解の漸近的挙動（アトラクト性）を分析し、特に t → ∞ のときの零への収束を調べること。
• 古典的Picard–Lindelöf理論をRiemann–Liouville微分を有する分数階系へ拡張すること。
• 時間変動係数および駆動項を有する線形分数階系の解がグローバルにアトラクトされる条件を特定すること。

提案手法

• t = 0 における特異性を取り扱うために、空間 $ C_{1-\beta}([0, \infty), \mathbb{R}^d) $ 上にBielecki型ノルムを用いる。
• 変数変換による積分作用素を導出し、その非線形作用素に対してBanach不動点定理を適用する。
• 線形化された系の基本解をMittag-Leffler関数 $ E_{\alpha,\alpha}(\cdot) $ を用いて表現する。
• $ |||E_{\alpha,\alpha}((t-\tau)^\alpha A)||| $ を含む積分作用素のノルムを評価することで、解作用素の収縮性を確立する。
• 収束を保証するため、成長を制御するための重み付きノルム $ \|\cdot\|_w $ を導入する。
• 積分推定を用いて、システム行列 A、摂動 Q(t)、および駆動項 g(t) に対するアトラクト性の十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riemann–Liouville型分数階微分方程式系が (0, ∞) 上で一意なグローバル解を有するための条件は何か？
• RQ2 時間変動係数および駆動項を有する線形分数階系の解が t → ∞ のとき零に収束するのはどのような場合か？
• RQ3 Mittag-Leffler関数および固定点技法を用いて、このような系の漸近的挙動をどのように分析できるか？
• RQ4 Bielecki型ノルムは特異な分数階系における存在および一意性の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 摂動 Q(t) が小さくないが適切に減衰する場合には、解のアトラクト性を保証できるか？

主な発見

• 初期値問題 $ D_{0+}^\alpha x(t) = f(t,x(t)) $ が (0, \infty) 上で、有界関数 $ L(t) $ を用いたリプシッツ条件を満たす場合、一意なグローバル解が存在する。
• 形式 $ D_{0+}^\alpha x(t) = Ax(t) + Q(t)x(t) + g(t) $ の線形系において、$ \|Q(t)\| $ が有界で $ g(t) $ が十分に速く減衰するならば、解は零にアトラクトされる。
• 条件 $ \frac{K 2^{2-\alpha} \Gamma(\alpha)}{\gamma^\alpha} \leq \frac{1}{4} $ を満たす限り、重み付き空間 $ C_{1-\alpha}^0([0,\infty), \mathbb{R}^d) $ 上で解作用素は収縮的であり、一意な不動点が保証される。
• Mittag-Leffler関数 $ E_{\alpha,\alpha}((t-\tau)^\alpha A) $ のノルムに対する明示的推定式が得られ、これが解作用素のノルムを評価する上で重要である。
• 例5.1では、$ |Q(t)| \leq \frac{1}{\sup_{t \geq 0} t^{1/2} E_{1/2}(-t^{1/2})} $ という条件が、積分作用素のノルムが1未満であることを保証し、アトラクト性が得られることを示している。
• 例5.2では、$ t^{-1} $ の割合で減衰する区分的関数で定義された Q(t) に対してもアトラクト性が確認されており、理論が滑らかでない摂動に対しても適用可能であることが示されている。