[論文レビュー] Global attractivity in almost periodic single species models

Yu. M. Myslo, V. І. Тkachenko|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、成熟段階構造、時変位、インパルス効果を有する単種モデルにおいて、不連続な準周期的解の存在およびグローバルアトラクト性を満たす十分条件を確立する。変数変換によりインパルス系を非インパルス形に変換し、成長、死滅、インパルス係数に関する特定の不等式を満たす場合、系は永久的かつグローバルにアトラクトする準周期的解を示すことが証明される。

ABSTRACT

Using properties of asymptotically almost periodic solutions we prove existence theorem for piece-wise continuous almost periodic solutions of differential equations with delay and impulses. We apply these results to study almost periodic single species model with stage structure and impulses.

研究の動機と目的

• インパルス的単種モデルに成熟段階構造を含む場合の不連続な準周期的解の存在およびグローバルアトラクト性を確立すること。
• 不連続点が一様に準周期的な間隔をもつ点列に存在する区分連続関数に対する準周期性理論を拡張し、W-漸近的準周期的解の概念を導入すること。
• 関数微分方程式を用いて、インパルス的摂動下における遅れ付き単種モデルの長期的動的挙動を分析すること。
• 時間遅れおよびインパルスが存在する状況下で、正の解の永久性およびグローバルアトラクト性を保証する十分条件を導出すること。
• 特定の係数不等式を満たす場合、インパルスのない変換系が一意の正のW-準周期的解を有することを証明すること。

提案手法

• 不連続点の列が一様に準周期的である点において、区分連続関数に対するW-準周期性の概念を導入する。
• 不連続点から離れた領域での収束を保証するW位相収束を、区分連続関数の列に対して定義する。
• 変数変換 $ x_m(t) = \omega(t)v(t) $ を用い、ここで $ \omega(t) = \prod_{0 \leq t_k < t} (1 + d_k) e^{-\sigma t} $ である。これにより、系からインパルス項を除去する。
• インパルス系を非インパルス遅れ微分方程式に変換する：$ \dot{v}(t) = A(t)v(t-h) + \sigma v(t) - C(t)v^2(t) $。この方程式の安定性を解析する。
• 極値方程式 $ \dot{v}_L(t) = A^L v_L(t-h) + \sigma v_L(t) - C^M v_L^2(t) $ および $ \dot{v}_M(t) = A^M v_M(t-h) + \sigma v_M(t) - C^L v_M^2(t) $ を用いた比較原理により、解の境界を求める。
• 遅れ微分方程式の安定性理論を適用し、条件 (17) を満たす場合、正の均衡点が一様漸近安定かつグローバルにアトラクト的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 成熟段階構造、時間遅れ、インパルス効果を有する単種モデルが、グローバルにアトラクトする準周期的解を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 不連続点がインパルスに現れる区分連続関数に対する準周期性の概念をどのように拡張できるか？
• RQ3 遅れ微分方程式系からインパルス項を除去しつつも動的挙動を保存する変換は何か？
• RQ4 モデルのパラメータに関するどのような不等式が、正の解の永久性およびグローバルアトラクト性を保証するか？
• RQ5 W位相収束は、インパルス系における漸近的準周期的解の存在をどのように保証するか？

主な発見

• 系が永久的であるための条件は $ \sigma + \sup_t \left( \alpha(t-h) e^{\sigma - \int_{t-h}^t \gamma(s)ds} \prod_{t-h \leq t_k < t} (1 + d_k)^{-1} \right) > 0 $ であり、すべての解が0および無限大から有界に離れていることを保証する。
• 系が一意の正のW-準周期的解を有し、それがグローバルにアトラクト的であるための条件は $ (A^M + \sigma)C^M < 2C^L(A^L + \sigma) $ である。ここで $ A^L = \inf A(t) $, $ C^L = \inf C(t) $ などである。
• 初期の未成熟個体数が $ t = 0 $ で非負かつ正であれば、インパルス項および遅れ項の構造により、$ x_m(t) $ はすべての $ t > 0 $ で正のままである。
• 変換された変数 $ v(t) $ は非インパルス遅れ方程式を満たし、その解は定数係数をもつ二つの極値方程式の解の間で有界である。
• 解 $ x_m(t) $ のW-準周期性は、積分表現 $ x_i(t) = \int_{t-h}^t \alpha(s)x_m(s) e^{-\int_s^t \gamma(\xi)d\xi} ds $ を通じて、未成熟個体数 $ x_i(t) $ のW-準周期性を示唆する。
• 条件 (17) を満たす場合、$ A^M < \inf_t \left( C(t)(x(t) + y(t)) - \sigma \right) $ が成り立つため、解の均一漸近安定性が保証される。