[論文レビュー] Global bounded and unbounded solutions to a chemotaxis system with indirect signal production

Philippe Laurençot|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 19被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、間接的シグナル産生を伴う2次元キモタクシス系に対して、解のグローバル存在を確立し、有界性の鋭い閾値を証明する。解は、細胞密度の初期質量 $ M $ が $ 8\pi D $ 未満のときグローバルに有界に保たれるが、$ M > 8\pi D $ の場合には $ t \to \infty $ の際に無限大に発散する。解析は、従来の回転対称設定に限られていた結果を一般の2次元領域へ拡張する、新しいリャプノフ汎関数のアプローチに依拠している。

ABSTRACT

The well-posedness of a chemotaxis system with indirect signal production in a two-dimensional domain is shown, all solutions being global unlike the classical Keller-Segel chemotaxis system. Nevertheless, there is a threshold value $M_c$ of the mass of the first component which separates two different behaviours: solutions are bounded when the mass is below $M_c$ while there are unbounded solutions starting from initial conditions having a mass exceeding $M_c$. This result extends to arbitrary two-dimensional domains a previous result of Tao \\& Winkler (2017) obtained for radially symmetric solutions to a simplified version of the model in a ball and relies on a different approach involving a Liapunov functional.

研究の動機と目的

• 2次元領域における間接的シグナル産生を伴うキモタクシス系に対して、回転対称設定に限られていた既存の結果を一般の領域へ拡張し、解のグローバル存在を確立すること。
• 有界解と無限大解を分ける臨界質量閾値 $ M_c = 8\pi D $ を同定すること。
• 従来の比較原理手法の限界を克服するため、リャプノフ汎関数に基づく新しい解析的手法を開発すること。
• 初期質量が $ 8\pi D $ を超える場合に、非回転対称な一般領域においても無限大解が存在することを証明すること。

提案手法

• 解に沿って非増加であることが示されるリャプノフ汎関数 $ \mathcal{E} $ が構成され、長期的挙動の解析が可能になる。
• コアとなるエネルギー的量として、$ \mathcal{E}_0(u,w) = M\ln M - M\ln\|e^w\|_1 - M + |\Omega| + \frac{D}{2}\|\nabla w\|_2^2 + \frac{\delta}{2}\|w\|_2^2 $ が用いられる。
• 2次元における $ W^{1,2} \hookrightarrow L^\infty $ の非コンパクト性を活用し、任意に低いエネルギーを持つ近似初期データの構成に濃縮・コンパクトネスの議論が用いられる。
• 解の系列 $ (u_\eta, v_\eta, w_\eta) $ を構築し、$ \mathcal{E}(u_\eta, v_\eta, w_\eta) \to -\infty $ が $ \eta \to 0 $ の際に成り立つようにすることで、無限大性が示される。
• 比較原理の使用を避け、代わりに関数解析的技術と $ L^p $ 空間におけるエネルギー推定に依拠する。
• 解析は関連モデル (1.1) および (1.3) へも拡張され、同様のリャプノフ汎関数が存在し、閾値現象がおそらく持続することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 間接的シグナル産生を伴うキモタクシス系は、回転対称でない一般の2次元領域に対してもグローバル解を有するか？
• RQ2 長期的挙動において、有界解と無限大解を分ける臨界質量閾値 $ M_c $ が存在するか？
• RQ3 非回転対称で一般の領域において、関数解析的アプローチを用いて閾値 $ M_c = 8\pi D $ を厳密に確立できるか？
• RQ4 類似した凝集傾向を示すにもかかわらず、本系では有限時間 blow-up が発生しないのに対し、古典的 Keller-Segel モデルとはどのように異なるか？
• RQ5 本稿で用いられたリャプノフ汎関数のアプローチは、他の間接的シグナル産生を伴うキモタクシスモデルへも応用可能か？

主な発見

• 本稿のキモタクシス系において、任意の初期データに対して2次元領域内ではすべての解が時間的にグローバルに定義される。
• 初期質量 $ M $ が $ M < 8\pi D $ を満たす場合、領域の幾何構造に依存せず、解は $ L^\infty $ で一様に有界に保たれる。
• $ M > 8\pi D $ の場合、$ \|u(t)\|_{\infty} \to \infty $ が $ t \to \infty $ の際に成り立つ初期データが存在し、無限大成長を示す。
• 閾値 $ M_c = 8\pi D $ は鋭く、有界解と無限大解を明確に分ける。
• 解析は、リャプノフ汎関数を用いて任意に負のエネルギーを持つ初期データを構築することで、$ L^\infty $-ノルムが一様に有界に保てないことを示している。
• 球体内の回転対称解に限られていた従来の結果を、$ \mathbb{R}^2 $ 内の任意の滑らかな有界領域へ拡張した。