[論文レビュー] Global $C^2$ estimates for convex solutions of curvature equations

Pengfei Guan, Changyu Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、位置と法線ベクトルに依存する $f$ を持つ、凸超曲面が満たす Weingarten 曲率方程式 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ に対して、全球的 $C^2$ 評価を確立する。著者らは、新規の非線形テスト関数と最大原理の技法を用いて、$f$ が $\nu$ に依存するかどうかにかかわらず、曲率の上限を示し、$1 < k < n$ の幾何的完全非線形 PDE 分野における長年の未解決問題を解決する。$k=2$ の場合、2-凸で星型の解に対しても同様の評価が成り立つ。一般には、曲率が発散する反例列を用いて、このような評価が一般には成り立たないことを示している。

ABSTRACT

We establish $C^2$ a priori estimate for convex hypersurfaces whose principal curvatures $κ=(κ_1,..., κ_n)$ satisfying Weingarten curvature equation $σ_k(κ(X))=f(X,ν(X))$. We also obtain such estimate for admissible 2-convex hypersurfaces in the case $k=2$. Our estimates resolve a longstanding problem in geometric fully nonlinear elliptic equations.

研究の動機と目的

• 凸解に対する Weingarten 曲率方程式 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ の長年の未解決問題である、$1 < k < n$ の場合の全球的 $C^2$ 評価を確立すること。
• $k=2$ の場合に、$f$ が位置と法線の両方に依存する $2$-凸で星型の超曲面に対し、$C^2$ 評価を拡張すること。
• $f$ が $\nu$ に依存する場合に、$C^2$ 評価 (1.2) が一般に成り立たないことを、曲率が発散する超曲面の反例列を構成することで示すこと。
• 適切なバリア条件を $f$ に特定することで、曲率指定問題における存在結果の枠組みを提供すること。

提案手法

• 最大原理を適用できる良好な凸性を持つ、主曲率の非線形テスト関数を導入する。
• 巧みに構築された曲率関数に対して最大原理を適用し、最大主曲率の上界を導出する。
• 補助関数の表現と Minkowski 恒等式を用いて、超曲面の幾何を制御し、内接半径に一様な正の下界を保証する。
• 滑らかで強凸な $u$ を用いて、$u_t = (1-t) + t u$ で定義される一パラメータ族の凸体 $\Omega_{u_t}$ を構成する。
• 曲率 $\sigma_k / \sigma_l$ の $M_t = \partial \Omega_{u_t}$ 上での振る舞いを、$t \to t_0$ のとき、$\det(W_{u_{t_0}}) = 0$ となる点で分析し、曲率の発散を導く。
• $u_t$ と $f_t = \sigma_{n-k}(W_{u_t}) / \sigma_{n-l}(W_{u_t})$ に対して、一様な $C^1$ および $C^3$ 界を確立し、$f_t$ と $1/f_t$ が $C^3$ で一様有界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位置と法線に依存する $f$ を持つ曲率方程式 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ の凸解に対して、$1 < k < n$ の場合に全球的 $C^2$ 評価を確立できるか？
• RQ2 $k=2$ の場合に、$2$-凸で星型の解に対して $C^2$ 評価 (1.2) は有効か？
• RQ3 $f$ が $\nu$ に依存する場合に、$C^2$ 評価を一般化できるか、それとも一般には失敗するか？
• RQ4 $f$ が $\nu$ に依存する場合でも、曲率評価が一様に保たれるために必要な幾何的条件は何か？
• RQ5 $f$ が $\nu$ に依存し、$\|f\|_{C^3}$ と $\|1/f\|_{C^3}$ が一様有界であるが、曲率評価が失敗する反例を構成できるか？

主な発見

• 閉じた凸超曲面 $M$ が $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ を満たし、$f \in C^2$、$f > 0$、かつ半径 $r_0 > 0$ の球を囲むとき、$C^2$ 評価は、$n$、$k$、$r_0$、$\inf f$、$\|f\|_{C^2}$ のみに依存する。
• $k=2$ の場合、$f \in C^2$ で、$\inf f$、$\|f\|_{C^2}$、$\inf \rho$、$\|\rho\|_{C^1}$ に依存するが、星型で $2$-凸な超曲面に対しても $C^2$ 評価が成り立つ。
• 一般に、$f$ が $\nu$ に依存する場合、評価 (1.2) は成り立たない。これは、$\|f_t\|_{C^3}$ と $\|1/f_t\|_{C^3}$ が一様有界であるが、$t \to t_0$ のとき $\kappa_{\max} \to \infty$ となる厳密に凸な超曲面 $M_t$ の反例列によって示されている。
• 反例は、ある点で $\det(W_{u_{t_0}}) = 0$ となる一パラメータ族の補助関数 $u_t$ を用いて構成され、$M_t$ 上で曲率が発散する。
• 各 $\Omega_{u_t}$ は平行移動により一様に有界な球（半径 $c_0 > 0$）を含み、曲率が発散しても一様な内接半径と $C^1$ 制御が保たれる。
• 証明は Minkowski 恒等式と $\sigma_n(W_{u_t})$ の一様下界に依存し、$W_{u_t}$ が一様に正定値となる点が存在することを保証する。これにより、局所的に放物面によるピンチングが一様に成立することが示される。