[論文レビュー] Global Calder\'on-Zygmund inequalities on complete Riemannian manifolds

Stefano Pigola|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 70被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、完全なリーマン多様体上でのポisson方程式 $\Delta u = f$ の解について、$L^p$-ヘッセ行列のグローバル推定を確立する。幾何的条件として下界のあるリッチ曲率や体積成長の制御が与えられた下で、$\|\operatorname{Hess}(u)\|_{L^p} \leq C_1\|u\|_{L^p} + C_2\|f\|_{L^p}$ が成り立つことを証明する。また、下界のある断面曲率を持つ場合ですら、一般にはこのような推定が成り立たないことを、リーマン多様体の極限空間を用いた反例によって示す。

ABSTRACT

This paper is a survey of some recent results on the validity and the failure of global $W^{2,p}$ regularity properties of smooth solutions of the Poisson equation $\\Delta u = f$ on a complete Riemannian manifold $(M,g)$. We review different methods developed to obtain a-priori $L^p$-Hessian estimates of the form $\\| \\Hess(u) \\|_{L^p} \\leq C_1 \\| u \\|_{L^p} + C_2 \\| f \\|_{L^p}$ under various geometric conditions on $M$ both in the case of real valued functions and for manifold valued maps. We also present explicit and somewhat implicit counterexamples showing that, in general, this integral inequality may fail to hold even in the presence of a lower sectional curvature bound. The r\\^ole of a gradient estimate of the form $\\| \ abla u \\|_{L^{p}} \\leq C_1 \\| u \\|_{L^p} + C_2 \\| f \\|_{L^p}$, and its connections with the $L^{p}$-Hessian estimate, are also discussed.

研究の動機と目的

• 完全なリーマン多様体上でのポアソン方程式 $\Delta u = f$ の解について、グローバルな $W^{2,p}$ 正則性の有効性を調査すること。
• $L^p$-ヘッセ行列推定 $\|\operatorname{Hess}(u)\|_{L^p} \leq C_1\|u\|_{L^p} + C_2\|f\|_{L^p}$ がグローバルに成り立つための幾何的条件を同定すること。
• 特に曲率束縛下での障害を特定するため、明示的な反例を構成することで、このような推定の障害を同定すること。
• グローバルな文脈において、$L^p$-勾配推定とそれらのヘッセ推定との相互作用が果たす役割を明確にすること。
• 古典的なケラーディン＝ジグムント理論を、一般のリーマン多様体へと拡張し、局所的推定からグローバル推定への移行を分析すること。

提案手法

• 局所からグローバルへのアプローチを用い、正規座標を介してユークリッドの不等式を移植することで、小さな測地的球上で $L^p$-ヘッセ行列推定を導出する。
• 2階のカットオフ関数とソボレフ空間の稠密性に関する議論を用い、$C_c^\infty$ 関数から $L^p$ 関数へと移行する。
• 多様体上のリース変換を適用し、関数解析的技法を用いて $1 < p \leq 2$ の場合の $L^p$-ヘッセ行列推定を確立する。
• 曲率と体積が制御されたコンパクトなリーマン多様体 $M_k$ の列を構成し、極限空間技法を用いて、極限空間 $X$ 上に非定数解 $u_\infty$ を得る。
• リプシッツ関数 $g_k$ の一様 $L^\infty$-有界性と漸近的均一連続性を用い、$g_k$ が $g_\infty$ に強く $L^p$ 収束することを保証する。
• ソボレフ空間における前コンパクト性結果と $L^p$-勾配推定を適用し、$u_k$ が $W^{1,p}(M_k)$ で有界であることを示し、これがグローバルヘッセ推定が成り立つと仮定すれば矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なリーマン多様体上で、$\|\operatorname{Hess}(u)\|_{L^p} \leq C_1\|u\|_{L^p} + C_2\|f\|_{L^p}$ が成り立つための幾何的条件は何か？
• RQ2 多様体が下界のある断面曲率を持つ場合ですら、グローバルケラーディン＝ジグムント不等式が成り立たないことはあり得るか？
• RQ3 $L^p$-勾配推定が $L^p$-ヘッセ推定の有効性に果たす役割は何か？グローバルな文脈においてそれらはどのように関係しているか？
• RQ4 古典的なユークリッド空間におけるケラーディン＝ジグムント理論を、一般のリーマン多様体へどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 曲率束縛を超えた、内在的な幾何的障害——例えば体積成長やトポロジー的要因——がグローバル $L^p$-ヘッセ行列推定を妨げる可能性は存在するか？

主な発見

• ポアソン方程式 $\Delta u = f$ に対するグローバル $L^p$-ヘッセ行列推定は、一般には成り立たない。これは、下界のある断面曲率を持つ場合ですら同様である。
• 曲率と体積が一様に有界なコンパクト多様体 $M_k$ の列を用いた反例が構成され、$\Delta u_k = g_k$ を満たす解 $u_k$ は $W^{1,p}$ で有界であるが、$\|\operatorname{Hess}(u_k)\|_{L^p}$ は $\|u_k\|_{L^p} + \|f_k\|_{L^p}$ で制御できない。
• 極限空間 $X$ 上の極限関数 $u_\infty$ は非定数であり、$\Delta u_\infty = g_\infty$ を満たし、$g_\infty$ も非定数である。これは、$L^p$-ヘッセ行列ノルムが $u_\infty$ と $f_\infty$ の $L^p$ ノルムによっては制御できないことを示している。
• この構成は、一様 $L^\infty$-有界性と $g_k$ から $g_\infty$ への強 $L^p$ 収束に依存しており、$g_k$ は一様にリプシッツ的であり、平均がゼロである。
• $L^p$-勾配推定は曲率と直径の制御により一様に有界であり、$\|\nabla u_k\|_{L^p} \leq C_1$ および $\|u_k\|_{L^p} \leq C_2$ が成り立つが、ヘッセ行列ノルムは依然として無限大に発散する。
• グローバルケラーディン＝ジグムント不等式の失敗は、背理法により示される。仮に推定が成り立つならば、極限関数 $u_\infty$ は定数であるはずだが、これは $g_\infty$ が非定数であることと矛盾する。