[論文レビュー] Global Classical Large Solutions to Navier-Stokes Equations for Viscous Compressible and Heat Conducting Fluids with Vacuum

Huanyao Wen, Changjiang Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、初期データが大きく、真空を含む1次元の完全なナビエ＝ストークス方程式に対する、可撓性、圧縮性、熱伝導性を有する流体のグローバルな古典的解の存在および一意性を確立する。エネルギー法とグローヴァル型不等式を用いて密度および速度の鋭い$H^4$-正則性推定を導出し、真空に起因する強い非線形性と退化性の課題を克服した。これは、この設定において古典的解が得られる初めての結果である。

ABSTRACT

In this paper, we consider the 1D Navier-Stokes equations for viscous compressible and heat conducting fluids (i.e., the full Navier-Stokes equations). We get a unique global classical solution to the equations with large initial data and vacuum. Because of the strong nonlinearity and degeneration of the equations brought by the temperature equation and by vanishing of density (i.e., appearance of vacuum) respectively, to our best knowledge, there are only two results until now about global existence of solutions to the full Navier-Stokes equations with special pressure, viscosity and heat conductivity when vacuum appears (see \cite{Feireisl-book} where the viscosity $ μ=$const and the so-called {\em variational} solutions were obtained, and see \cite{Bresch-Desjardins} where the viscosity $ μ=μ(ρ)$ degenerated when the density vanishes and the global weak solutions were got). It is open whether the global strong or classical solutions exist. By applying our ideas which were used in our former paper \cite{Ding-Wen-Zhu} to get $H^3-$estimates of $u$ and $θ$ (see Lemma ef{non-le:3.14}, Lemma ef{non-le:3.15}, Lemma ef{non-rle:3.12} and the corresponding corollaries), we get the existence and uniqueness of the global classical solutions (see Theorem ef{non-rth:1.1}).

研究の動機と目的

• 粘性、圧縮性、熱伝導性を有する流体に対する1次元完全ナビエ＝ストークス方程式の、真空および大規模初期データを伴うグローバル古典的解の存在および一意性を確立すること。
• 温度方程式および真空（密度が消える場所）に起因する強い非線形性と退化性を克服すること。
• 弱解または変分的解に関する先行研究を、完全な正則性を有する古典的解の領域へと拡張すること。
• 真空および大規模初期エネルギーを伴う状況下での解の長時間挙動および正則性を厳密に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• エネルギー法とソボレフ埋め込みを用いた速度および温度の$H^3$-推定の導出。
• 高階のエネルギー推定と部分積分を用いた密度および速度の$H^4$-正則性の確立。
• 時間依存ノルムの制御と一様な有界性の確保のためのグローバル不等式の適用。
• 真空における退化性を扱うために、重み付き$L^2$-推定を$ρ^{1/2}u_{tt}$、$ρ^{1/2}θ_t$、および$ρθ_{xt}$に適用。
• 正則化を用いた近似解の構成と、$ν \to 0^+$における極限への移行により、古典的解への収束を保証。
• 先行研究[8]の技術を活用し、エネルギー推定における非線形項$(ρ u u_x)_x$および$ρ_{xxxx}u_{xxxxx}$を制御。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い非線形性と退化性が存在するにもかかわらず、真空および大規模初期データを伴う1次元完全ナビエ＝ストークス方程式に対してグローバル古典的解が存在しうるか？
• RQ2 このような条件下で、密度、速度、温度の正則性はどの程度達成可能か？
• RQ3 粘性および熱伝導度が密度および温度に依存する状況下で、密度および速度の$H^4$-正則性をどのように確立できるか？
• RQ4 真空および大規模初期エネルギーを伴う状況下で、高階導関数の増大をどのように制御できるか？
• RQ5 このような条件下で、解がグローバルに古典的（空間および時間に関して$C^1$）のままであるか？

主な発見

• 本稿は、圧力、粘性、熱伝導度に関する物理的に妥当な仮定の下で、大規模初期データおよび真空を伴う1次元完全ナビエ＝ストークス方程式に対するグローバル古典的解の存在および一意性を証明する。
• 任意の有限時間区間において、密度および速度の$H^4$-有界性、および温度の$H^3$-有界性が一様に確立される。
• 定数$c$が時間に依存しないことから、$ρ\|_{H^4} + \|u\|_{H^4} + \|\theta\|_{H^3} \leq c$を満たす。
• 正則化パrameter$δ$に依存しない一様な推定が得られ、極限への移行により、元の問題における古典的解が得られる。
• 初期データの小規模性仮定を必要とせず、小規模摂動に基づく先行研究とは明確に区別される。
• 本稿は、温度方程式における退化性と強い非線形性に起因する、温度の$H^4$-正則性の阻害要因を特定する。