[論文レビュー] Global classical solution to 3D isentropic compressible Navier-Stokes equations with large initial data and vacuum

Xiaofeng Hou, Hongyun Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、断熱指数 γ が 1 に近いか、粘性係数 μ が大きい場合に、初期エネルギーが大きく、真空中を含む 3D 等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、グローバル古典解の存在を確立する。主な結果は、(γ−1)、遠方密度 ρ̃、および粘性係数 μ のある組み合わせが適切に小さい限り、初期エネルギーが大きくてもグローバル解が存在することを示しており、3次元において初期エネルギーが大きく真空中のグローバル古典解を得る初の結果である。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of a global classical solution to 3D Cauchy problem of the isentropic compressible Navier-Stokes equations with large initial data and vacuum. Precisely, when the far-field density is vacuum ($\widetildeρ=0$), we get the global classical solution under the assumption that $(γ-1)^\frac{1}{3}E_0μ^{-1}$ is suitably small. In the case that the far-field density is away from vacuum ($\widetildeρ>0$), the global classical solution is also obtained when $\left((γ-1)^\frac{1}{36}+\widetildeρ^\frac{1}{6} ight)E_0^{\frac{1}{4}}μ^{-\frac{1}{3}}$ is suitably small. The above results show that the initial energy $E_0$ could be large if $γ-1$ and $\widetildeρ$ are small or the viscosity coefficient $μ$ is taken to be large. These results improve the one obtained by Huang-Li-Xin in \cite{Huang-Li-Xin}, where the existence of the classical solution is proved with small initial energy. It should be noted that in the theorems obtained in this paper, no smallness restriction is put upon the initial data. It can be viewed the first result on the existence of the global classical solution to three-dimensional Navier-Stokes equations with large initial energy and vacuum when $γ$ is near $1$.

研究の動機と目的

• 初期エネルギーが大きく、真空中を含む 3D 筭エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対するグローバル古典解の存在を確立すること。
• 真空中における運動量方程式の退化性に起因する正則性および一意性の困難を克服すること。
• 従来の結果が初期エネルギーが小さい場合に限られていたのを、特定の物理的パラメータ条件下で初期エネルギーが大きい場合にも拡張すること。
• 初期データが小さくない場合でも、γ が 1 に近いか粘性係数 μ が大きい場合にはグローバル古典解が存在することを示すこと。
• 3次元において真空中で初期データが大きくてもグローバル古典解の存在が保証されるかという、主要な未解決問題を解決すること。

提案手法

• 密度および速度の時間的成長を制御するために、事前推定および重み付き L∞ 界の手法を用いる。
• Huang-Li-Xin (2016) の手法の修正版を用いるが、(γ−1)、ρ̃、μ に対するスケーリング依存の条件を導入することで、初期エネルギーが大きい場合にも拡張する。
• 時間区間の分解を実施し、関数 b(t) の境界を用いて密度の点ごとの時間発展を制御するための Lemma 2.3 を適用する。b(t) は圧力および粘性係数に関連する。
• a priori 偽定を閉じるためにブートストラップ法を用い、密度の L∞ 範囲が初期密度の境界の 7/4 倍に保たれることを保証する。
• Huang-Li-Xin (2016) の手法に従い、滑らかな解 (ρ, u) に対する時間に依存する高階ノルム推定を導出し、大エネルギー領域に適応させる。
• 非線形項を制御し、グローバル存在を保証するために、((γ−1)^{1/36} + ρ̃^{1/6})E₀^{1/4}μ^{-1/3} の小ささ条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期エネルギーが大きく、真空中を含む 3D 筭エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、グローバル古典解が存在しうるか？
• RQ2 断熱指数 γ、遠方密度 ρ̃、粘性係数 μ にどのような条件を課すことで、初期エネルギーが大きくてもグローバル古典解が得られるか？
• RQ3 初期データに小ささ制限を課さずに、真空中においてもグローバル存在性および解の正則性を保証することは可能か？
• RQ4 γ が 1 に近いか、粘性係数 μ が大きい場合の、解の長期間的挙動および正則性に及ぼす影響は何か？
• RQ5 3次元圧縮流体の真空中において、古典解フレームワークを初期エネルギーが小さいという仮定を超えて拡張可能か？

主な発見

• 遠方密度が真空（ρ̃=0）の場合、(γ−1)^{1/3}E₀μ^{-1} が適切に小さい限り、初期エネルギーが大きくても 3D 筭エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対してグローバル古典解が存在する。
• 遠方密度が正（ρ̃>0）の場合、((γ−1)^{1/36} + ρ̃^{1/6})E₀^{1/4}μ^{-1/3} が適切に小さい限り、グローバル古典解が存在する。
• γ−1 が小さいか μ が大きい場合には初期エネルギー E₀ が大きくても、グローバル正則性が保証されることを示している。
• 上記の小ささ条件のもとで、解は L∞(ℝ³) で有界であり、supₜ‖ρ‖_{L∞} ≤ 7/4 ρ̄ を満たす。
• γ が 1 に近いかつ初期エネルギーが大きい場合に、真空中で 3D 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対してグローバル古典解が存在する初の結果である。
• 解析により、初期データ自体に小ささ制限は必要ないことが確認され、物理的パrameter とエネルギーの特定の組み合わせにのみ小ささ条件が課される。