[論文レビュー] Global classical solutions, stability of constant equilibria, and spreading speeds in attraction-repulsion chemotaxis systems with logistic source on $\mathbb{R}^{N}$

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2016

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 39被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上のロジスティック成長を伴う、吸引・反発・放物型・楕円型の化学接着系に対して、古典解の全域的存在および有界性を確立し、定数平衡状態 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ の漸近的安定性を証明し、compactly な初期データを持つ解の広がり速度 $c^*_{-}$ と $c^*_{+}$ を導出し、広がりの前線内では平衡状態への収束、外では減衰することを示している。

ABSTRACT

We consider the following chemotaxis systems $$\begin{cases}u_t=Δu-χ_1 abla(u abla v_1)+χ_2 abla(u abla v_2)+u(a-bu),\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\\0=(Δ-λ_1I)v_1+μ_1u,\ \ x\in\mathbb R^N,t>0,\\0=(Δ-λ_2I)v_2+μ_2u,\ \ ext{in}\ x\in\mathbb R^N,\ t>0,\\u(\cdot,0)=u_0,\ \ x\in\mathbb R^N,\end{cases}$$where $χ_i,\ λ_i,\ μ_i,\ i=1,2$ and $a,\ b$ are positive constant real numbers and $N$ is a positive integer. Under some conditions on the parameters, we prove the global existence and boundedness of classical solutions $(u(x,t;u_0),v_1(x,t;u_0),v_2(x,t;u_0))$ for nonnegative, bounded, and uniformly continuous initials $u_0(x)$. Next, we show that, for every strictly positive initial \,$u_0(x)$,$$\lim_{t o\infty}\left[\|u(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}\|_{\infty}+\|λ_1v_1(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}μ_1\|_{\infty}+\|λ_2v_2(\cdot,t;u_0)-\frac{a}{b}μ_2\|_{\infty} ight]=0.$$ Finally, we explore the spreading properties of the global solutions and prove that there are two positive numbers $0c^*_+(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)$. Furthermore we show that$$\lim_{(χ_1,χ_2) o(0,0)}c^*_-(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)=\lim_{(χ_1,χ_2) o(0,0)}c^*_+(χ_1,μ_1,λ_1,χ_2,μ_2,λ_2)=2\sqrt{a}.$$

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^N$ 上の吸引・反発・ロジスティック成長を伴う化学接着系に対して、古典解の全域的存在および有界性を確立すること。
• 適切なパrameter 条件の下で、定数平衡状態の漸近的安定性を分析すること。
• 特に、空間的分布の長期的挙動に注目して、compactly な初期データを持つ解の広がり特性を調査すること。

提案手法

• 常微分方程式系から構成された上解・下解を用いた比較原理を用いて、解 $u(x,t)$ を評価する。
• 下解・上解の手法を用いて、$u$、$v_1$、$v_2$ の時間的変化を制御する。
• $v_1$ および $v_2$ の楕円型方程式を、$u$ の定常状態グリーン関数表現として解析し、放物型・楕円型系の分離を可能にする。
• エネルギー推定および最大原理の議論を用いて、$u$、$v_1$、$v_2$ の $L^\infty$-ノルムにおける一様有界性を導出する。
• 広がり速度の極限挙動 $\chi_1, \chi_2 \to 0$ を用いて、モデルと古典的 Fisher-KPP 方程式との関係を明らかにする。
• 上解・下解の長期的極限に基づく背理法を用いて、平衡状態への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吸引・反発化学接着系にロジスティック源を伴う系が、$\mathbb{R}^N$ 上で、$\chi_i$、$\mu_i$、$\lambda_i$、$a$、$b$、$N$ のどの条件下で、すべての時間 $t > 0$ において古典解が全域的かつ一様有界に存在するか。
• RQ2 すべての非負で一様連続な初期データ $u_0$ に対して、定数平衡状態 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ が $L^\infty$-ノルムで漸近的に安定となるのはどのような条件か。
• RQ3 compactly な初期データを持つ解の広がり速度 $c^*_{-}$ と $c^*_{+}$ は何か。また、これらは $u$、$v_1$、$v_2$ の長期的空間的分布とどのように関係しているか。
• RQ4 広がり速度は $\chi_1, \chi_2 \to 0$ の極限でどのように振る舞い、これにより系が Fisher-KPP 方程式とどのように関連しているか。
• RQ5 上解・下解から導かれる常微分方程式系との比較によって、系のダイナミクスを制御できるか。

主な発見

• 初期データ $u_0$ が非負、有界、一様連続である限り、$\chi_i$、$\mu_i$、$\lambda_i$、$a$、$b$、$N$ の適切な条件下で、すべての $t > 0$ に対して古典解が存在し、一様有界に保たれる。
• すべての正の初期データ $u_0$ に対して、定数平衡状態 $\left(\frac{a}{b}, \frac{\mu_1}{\lambda_1}\frac{a}{b}, \frac{\mu_2}{\lambda_2}\frac{a}{b}\right)$ は $L^\infty$-ノルムで漸近的に安定である。
• compactly な初期データに対して、任意の半径 $ct$ の球内では解は平衡状態に一様収束し、任意の半径 $ct$ の球外では $0$ に衰える。ただし $c < c^*_{-}$ および $c > c^*_{+}$ を満たす。
• 広がり速度は $0 < c^*_{-} \leq c^*_{+}$ を満たし、$\chi_1, \chi_2 \to 0$ の極限で $2\sqrt{a}$ に収束する。これは Fisher-KPP 広がり速度を回復する。
• 上解・下解は長期的極限で平衡状態値 $\frac{a}{b}$ に近づくため、唯一の可能な定数解は $\frac{a}{b}$ である。これが極限で達しないと仮定すれば背理が生じるため、収束が証明される。