[論文レビュー] Global Conformal Invariance and Bilocal Fields with Rational Correlation Functions

Nikolay Nikolov, Yassen S. Stanev+1 more|ArXiv.org|Nov 12, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は4次元ミンコフスキー空間におけるスカラー場のグローバルコンフォーマル不変性（GCI）フレームワークを提案し、2つのスカラー場の作用素積和展開（OPE）に二局所コンフォーマル場 $V_\nu(x_1,x_2)$ を導入する。相関関数が有理関数であることが示され、$V_1$ が無限個のねじれ-2保存対称トレースレステンソルの級数に分解されることを明らかにし、非アーベルゲージ理論におけるGCI相関関数の非摂動的構成を達成する。

ABSTRACT

The singular part of the extit{operator product expansion} (OPE) of a pair of extit{globally conformal invariant} (GCI) scalar fields $ϕ$ of (integer) dimension $d$ can be written as a sum of the 2-point function of $ϕ$ and $d-1$ bilocal conformal fields $V_ν(x_1, x_2)$ of dimension $(ν, ν)$, $ν= 1, ..., d-1$. As the correlation functions of $ϕ(x)$ are proven to be rational [6], we argue that the correlation functions of $V_ν$ can also be assumed rational. Each $V_ν(x_1, x_2)$ is expanded into local symmetric tensor fields of extit{twist} (dimension minus rank) $2ν$. The case $d=2$, considered previously [5], is briefly reviewed and current work on the $d=4$ case (of a Lagrangean density in 4 space--time dimensions) is previewed.

研究の動機と目的

• 4次元ミンコフスキー空間におけるグローバルコンフォーマル不変性（GCI）スカラー場のOPE構造を、$d=2$ の場合を越えて一般化すること。
• OPEに現れる二局所場 $V_\nu$ の相関関数が有理関数であることを確立し、$d=2$ の場合の結果を拡張すること。
• $V_1$ の構造をねじれ-2保存対称トレースレステンソル場の無限級数として解析すること。
• 下位次元の場が寄与しない $d=4$ スカラー場 $\mathcal{L}(x)$ に対する4パラメータ族の切断された4点関数 $\mathcal{W}_4^t$ を構成すること。
• 非アーベルゲージ理論におけるGCI相関関数の非摂動的構成への第一歩を提供すること。

提案手法

• 2つのGCIスカラー場 $\phi(x_1)\phi(x_2)$ のOPEを、2点関数、次元 $(\nu,\nu)$ の $d-1$ 個の二局所コンフォーマル場 $V_\nu(x_1,x_2)$、および正規順序積に分解する。
• 二局所場 $V\_\nu$ をねじれ $2\nu$ の局所的対称トレースレステンソル場に展開し、理論に依存しない普遍的な係数を有する。
• 交差対称性とコンフォーマル不変性を用いて、真空期待値 $\langle 0|V_\nu(x_1,x_2)V_\nu(x_3,x_4)|0\rangle$ が、コンフォーラル不変な交差比 $s$ と $t$ の有理関数であり、$s_{12}$ 対称性を満たすことを導出する。
• 3点関数から d’Alembert 方程式 $\Box_1 V_1 = \Box_2 V_1 = 0$ を導出し、4点関数における関数 $f_d(s,t)$ の計算を可能にする。
• $d=4$ スカラー場 $\mathcal{L}(x)$ に対して、$F_1$ と $F_2$ がねじれ-2 および ねじれ-4 場からの寄与を有する4パラメータ族の切断された4点関数 $\mathcal{W}_4^t$ を構成する。
• OPE において $V_2$ が $\mathcal{L}$ を含むことが示され、$2b_1 + b_2 \neq 0$ のとき、3点関数が非ゼロであり、非アーベル構造を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元における2つのグローバルコンフォーマル不変スカラー場のOPEは、二局所コンフォーマル場を用いて、$d=2$ の場合を越えて体系的に拡張可能か？
• RQ2 スカラー場 $\phi$ が有理関数相関関数を持つ場合、OPEに現れる二局所場 $V_\nu$ の相関関数は有理関数か？
• RQ3 二局所場 $V_1$ はどのように局所的保存対称トレースレステンソル場に分解され、コンフォーラル不変性はこの分解において果たす役割は何か？
• RQ4 $d=4$ スカラー場に対する切断された4点関数 $\mathcal{W}_4^t$ の構造は何か？ そして、独立パラメータはいくつあるか？
• RQ5 OPE において $V_2$ がスカラー場 $\mathcal{L}$ を含む条件は何か？ これは基礎となるゲージ理論に何を示唆するか？

主な発見

• 二局所場 $V_1(x_1,x_2)$ は d’Alembert 方程式 $\Box_1 V_1 = \Box_2 V_1 = 0$ を満たす。これは、局所的テンソル場との3点関数のコンフォーラル不変性に起因する。
• 真空期待値 $\langle 0|V_1(x_1,x_2)V_1(x_3,x_4)|0\rangle$ は、$[(13)(24) + (14)(23)]f_d(s,t)$ と表現され、$f_d(s,t)$ は交差比 $s$ と $t$ の有理関数であり、$s_{12}$ 対称性を満たす。
• $d=4$ の場合に $f_d(s,t)$ を明示的に計算し、$V_1$ がねじれ-2保存対称トレースレステンソル場の無限和であることが示された。
• 下位次元の場からの寄与がない $d=4$ スカラー場 $\mathcal{L}(x)$ に対して、4パラメータ族の切断された4点関数 $\mathcal{W}_4^t$ が構成された。
• この族のうち、自由アーベルゲージ理論に対応するのは1パラメータの部分集合に限られ、一般解は非アーベルゲージ理論を記述していることが示された。
• $V_2(x_1,x_2)$ のOPEが $2b_1 + b_2 \neq 0$ のとき $\mathcal{L}(x)$ を含むことが示され、3点関数 $\langle V_2 \mathcal{L} \rangle$ が非ゼロであることを示唆し、非アーベル構造を示している。