[論文レビュー] Global dimensions for Lie groups at level k and their conformally exceptional quantum subgroups

Robert Coquereaux|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リー群のレベル $k$ における融合カテゴリのグローバル次元に対する明示的公式を導出し、すべての単純リー群に対してリー量子スーパー階乗を導入する。さらに、共形埋め込みを介して、共形的例外的量子部分群のグローバル次元を計算し、タイプ $A_r$ では量子バーナーズ関数を用いて表現し、$E_8$ のレベル30における例外的ケースでは正確な値を提示する。その結果、グローバル次元は約 $5.579 imes 10^{22}$ に達する。この枠組みは、チェーン＝シモンズ理論および境界付近共形場理論と関連している。

ABSTRACT

We obtain formulae giving global dimensions for fusion categories defined by Lie groups G at level k and for the associated module-categories obtained via conformal embeddings. The results can be expressed in terms of Lie quantum superfactorials of type G. The later are related, for the type Ar, to the quantum Barnes function.

研究の動機と目的

• 複素リー群 $G$ のレベル $k$ における融合カテゴリ ${\mathcal{A}}_k(G)$ のグローバル次元に対する一般公式を導出すること。
• これらの結果を、共形埋め込みから生じるモジュールカテゴリ ${\mathcal{E}}$ に拡張すること。
• すべての単純リー群に対してリー量子スーパー階乗を定義し、特にタイプ $A_r$ と量子バーナーズ関数との関係を調べること。
• 数学的結果をチェーン＝シモンズトポロジカル場理論および境界WZW共形場理論における物理的解釈と結びつけること。
• 特に $E_8$ のレベル30における最大の例外的共形的量子部分群のグローバル次元について、明示的な数値を提示すること。

提案手法

• ${\mathcal{A}}_k(G)$ のグローバル次元は、$S$-行列要素 $S_{00}$ の逆数の二乗から計算され、これは量子ウェイル分母に比例する。
• 量子ウェイル分母は、リー群 $G$ の指数にわたる量子階乗の積として表現され、単純にラスキーでないタイプには調整が加えられる。
• モジュールカテゴリ ${\mathcal{E}}$ に対しては、${\mathcal{A}}_k(G)$ における ${\mathcal{E}}$ のアンビキアラル部分カテゴリの次元に関連するグローバル次元が得られ、特に共形埋め込みの下では簡略化される。
• Frobenius代数およびモノイダル関手の理論を用いて、モジュールカテゴリを、加法的で、半単純的で、分解不能なカテゴリへの ${\mathcal{A}}_k(G)$ の作用として記述する。
• タイプ $A_r$ に対しては、量子バーナーズ関数を整数引数および単位根において評価することで、リー量子スーパー階乗が評価される。
• 共形的例外的量子部分群のグローバル次元に対する明示的公式が導出され、$q = \exp(i\pi/60)$ を用いて $E_8$ のケース（レベル30）が計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群 $G$ のレベル $k$ における融合カテゴリ ${\mathcal{A}}_k(G)$ のグローバル次元を、モジュラー $S$-行列データを用いて体系的にどのように計算できるか。
• RQ2 共形埋め込みから生じる場合を含め、モジュールカテゴリ ${\mathcal{E}}$ の構造とグローバル次元はどのようなものか。
• RQ3 すべての単純リー群に対してリー量子スーパー階乗はどのように定義され、既知の特殊関数（例：量子バーナーズ関数）とどのように関係するか。
• RQ4 $E_8$ のレベル30における最大の共形的例外的量子部分群のグローバル次元は何か。また、チェーン＝シモンズの分配関数とどのように関連するか。
• RQ5 このようなカテゴリのグローバル次元は、トポロジカル量子場理論や境界共形場理論の観点から解釈可能か。

主な発見

• ${\mathcal{A}}_k(G)$ のグローバル次元は、$|{\mathcal{A}}_k(G)| = 1/S_{00}^2$ で与えられ、ここで $S_{00}$ はモジュラー $S$-行列の $(0,0)$-成分である。
• タイプ $A_r$ に対しては、リー量子スーパー階乗が整数引数および単位根における量子バーナーズ関数を用いて表現可能である。
• 正則対称系列における $SU(g)$ の共形的例外的量子部分群のグローバル次元は、$|{\mathcal{E}}_{g+2}(SU(g))| = \{6, 12(2+\sqrt{2}), 40(5+2\sqrt{5}), 360(7+4\sqrt{3}), \ldots\}$ で与えられる。
• $SU(g)$ と $SU(g-2)$ の共形的例外的部分群のランク・レベル双対の次元比は $g/(g-2)$ であり、これは二つの $\sqrt{g/(g-2)}$ の寄与から導かれる。
• $E_8$ のレベル30における最大の共形的例外的部分群のグローバル次元は、$|{\mathcal{E}}_{30}(E_8)| = 2 \times \frac{60^4}{2^{120} \cdot [1]!_q [7]!_q \cdots [29]!_q \cdot \sin^{120}(\pi/60)} \approx 5.57902 \times 10^{22}$ として計算される。
• $G = SU(N)$ のレベル $k$ における $S^3$ 上のチェーン＝シモンズ分配関数は、${\mathcal{A}}_k(SU(N))$ のグローバル次元と直接関係しており、既知の結果と整合性を示している。