[論文レビュー] Global dimensions of rings with respect to a semidualizing module

Guoqiang Zhao, Juxiang Sun|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自由加群が投射加群を特徴づけるのと同様に、強力な $G_C$-投射および $G_C$-内埋加群を導入し、$G_C$-投射および $G_C$-内埋加群を特徴づける。主な貢献は、環 $R$ の $G_C$-投射および $G_C$-内埋グローバル次元が一致することを証明し、それらの共通値として $C$-ゴレンシュタイングローバル次元と呼ばれる新しい不変量を定義することである。この不変量は、古典的グローバル次元およびゴレンシュタインホモロジー次元を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, the notion of strongly G_C-projective and injective modules is introduced, where C is a semidualizing module. Using these modules we can obtain a new characterization of G_C-projective and injective modules, similar to the one of projective modules by the free modules. We then define and study the global dimensions of rings relative to a semidualizing module C, and prove that the global G_C-projective dimension of a ring R is equal to the global G_C-injective dimension of R.

研究の動機と目的

• 強力な $G_C$-投射および $G_C$-内埋加群を用いて、$G_C$-投射および $G_C$-内埋加群の新しい特徴づけを構築すること。
• 半双対的加群 $C$ に関して、環 $R$ の $G_C$-投射および $G_C$-内埋グローバル次元を定義し、それらを研究すること。
• $G_C$-投射および $G_C$-内埋グローバル次元が等しいことを確立し、ゴレンシュタインホモロジー代数における古典的結果を一般化すること。
• $C$-ゴレンシュタイングローバル次元と他の古典的グローバル次元（例えば、古典的グローバル次元および弱グローバル次元）との関係を調査すること。
• 高橋とホワイトが提起した、有限 $C$-ゴレンシュタイングローバル次元をもつ局所コhen＝マカウレー環のゴレンシュタイン性に関する問題に対する部分的な肯定的解答を提供すること。

提案手法

• 強力な $G_C$-投射および $G_C$-内埋加群のクラスを、$G_C$-投射および $G_C$-内埋加群の改良版として導入する。
• $R$-加群が $G_C$-投射（それぞれ内埋）であるための必要十分条件として、それが強力な $G_C$-投射（それぞれ内埋）$R$-加群の直和成分であることを証明する。
• すべての $R$-加群における $G_C$-投射および $G_C$-内埋次元の上限として、環 $R$ の $G_C$-投射および $G_C$-内埋グローバル次元を定義する。
• $\text{Hom}_R(-,\text{--})$-完全系列および特性加群を用いたホモロジー的道具を通じて、$G_C$-次元と古典的次元との関係を確立する。
• $C$-ゴレンシュタイングローバル次元と古典的グローバル次元との間の不等式を確立し、${\rm G}_C{\text{-}}{\rm gl.dim}(R) \leq \mathop{\rm gl.dim}(R)$ を示す。
• 双対性および帰納法を用いて、$G_C$-内埋次元の境界が $G_C$-投射次元の境界によって制御され、逆も成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由加群が投射加群を特徴づけるのと同様に、$G_C$-投射および $G_C$-内埋加群を、より強いクラスの加群を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 $C$ が半双対的加群であるとき、環 $R$ の $G_C$-投射グローバル次元は、$G_C$-内埋グローバル次元と等しいか？
• RQ3 $R$ の $C$-ゴレンシュタイングローバル次元と $R$ の古典的グローバル次元との関係は何か？
• RQ4 有限 $C$-ゴレンシュタイングローバル次元であるという条件下で、$R$-加群が有限の内埋次元または投射次元をもつための条件は何か？
• RQ5 有限 $C$-ゴレンシュタイングローバル次元をもち、かつ $\mathcal{P}_C$-投射次元および $\mathcal{I}_C$-内埋次元に有限性条件が課された局所コhen＝マカウレー環が、ゴレンシュタイン環であるかどうか？

主な発見

• $R$ の $G_C$-投射および $G_C$-内埋グローバル次元は等しく、その共通値として $C$-ゴレンシュタイングローバル次元と呼ばれる $R$ の新しい不変量 ${\rm G}_C{\text{-}}{\rm gl.dim}(R)$ が定義される。
• すべての $G_C$-投射（それぞれ $G_C$-内埋）加群は、強力な $G_C$-投射（それぞれ $G_C$-内埋）加群の直和成分である。
• 強力な $G_C$-投射加群のクラスは、$C$-投射加群のクラスと $G_C$-投射加群のクラスの間に厳密に含まれる。
• $C$-ゴレンシュタイングローバル次元は、${\rm G}_C{\text{-}}{\rm w}\mathop{\rm gl.dim}(R) \leq {\rm G}_C{\text{-}}{\rm gl.dim}(R) \leq \mathop{\rm gl.dim}(R)$ を満たし、後者が有限であれば等号が成り立つ。
• 有限 $C$-ゴレンシュタイングローバル次元をもつ環では、$\mathcal{P}_C$-投射次元が有限であることと、内埋次元が有限であることは同値であり、逆に $\mathcal{I}_C$-内埋次元についても同様の同値性が成り立つ。
• 本研究の結果は、高橋とホワイトの問いに対する部分的な肯定的解答を提供する：$R$ が双対的加群をもつ局所コhen＝マカウレー環であり、かつ有限 $C$-ゴレンシュタイングローバル次元をもつならば、与えられた有限性条件のもとで $R$ はゴレンシュタイン環である。