[論文レビュー] Global discrepancy and small points on elliptic curves

Matthew Baker, Clayton Petsche|ArXiv.org|Jul 11, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、数体上の楕円曲線上の有限集合のアデール的等分布からの逸脱の尺度として、グローバル不一致度を導入し、 canonical 高さを用いた上界を証明する。楕円曲線における Szpiro-Ullmo-Zhang の等分布定理に対して、新しい初等的証明を確立し、全実または全 $p$-進拡大体における小さな点の明示的定量的非等分布境界を導出する。これには、全実体の最大円分拡大体も含まれる。

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve defined over a number field k. In this paper, we define the ``global discrepancy'' of a finite set Z of algebraic points on E which in a precise sense measures how far the set is from being adelically equidistributed. We then prove an upper bound for the global discrepancy of Z in terms of the average canonical height of points in Z. We deduce from this inequality a number of consequences. For example, we give a new and simple proof of the Szpiro-Ullmo-Zhang equidistribution theorem for elliptic curves. We also prove a non-archimedean version of the Szpiro-Ullmo-Zhang theorem which takes place on the Berkovich analytic space associated to E. We then prove some quantitative `non-equidistribution' theorems for totally real or totally p-adic small points. The results for totally real points imply similar bounds for points defined over the maximal cyclotomic extension of a totally real field.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の点の有限集合のグローバル不一致度を、アデール的等分布の不成立の尺度として定義・研究すること。
• canonical 高さを用いたグローバル不一致度の上界を確立し、定量的等分布結果を得ること。
• 楕円曲線における Szpiro-Ullmo-Zhang の等分布定理の新しい初等的証明を提供すること。
• Berkovich 解析的空間を用いて、非アーチメデス的位相への等分布結果を拡張すること。
• 全実、全 $p$-進、および全実体の最大円分拡大体における torsion 点の数と canonical 高さの下限について、明示的な定量的境界を導出すること。

提案手法

• グローバル不一致度 $\mathcal{D}(Z)$ を局所的不一致度の和として定義し、heat kernel の畳み込みにより canonical 高さペアリングを滑らかにすること。
• heat kernel $\lambda_t$ を用いて、Néron 局所的高さ関数 $\lambda_v$ の非負で滑らかな近似を構成し、最適な推定を得るため $t=1/N$ とすること。
• 任意の $0 < t \leq 1$ に対して $\lambda_t(O) \leq \frac{1}{2}\log(1/t) + \frac{1}{12}\log^+|j_E| + 11/5$ を証明し、原点における不一致度の上限を求める。
• 平行四辺形法を用いて $\Lambda(Z) \leq 4\hat{h}(Z)$ を確立し、不一致度と平均 canonical 高さを結びつける。
• 不一致度の上限を応用し、small canonical 高さが不一致度を有界にすることを示し、torsion 点と最小非 torsion 高さを制約することにより、非等分布結果を導出する。
• 格子点の数え上げと Riemann-Stieltjes 積分を用いて、$\tau$ の基本領域とモジュラー不変性を活用し、原点における heat kernel を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線上の点の有限集合がアデール的に等分布しない度合いをどのように定量的に測定できるか。
• RQ2 Szpiro-Ullmo-Zhang の等分布定理をより初等的かつ定量的な方法で再証明できるか。
• RQ3 全実または全 $p$-進拡大体における torsion 点の数と非ゼロ canonical 高さの下限について、どのような明示的境界を確立できるか。
• RQ4 グローバル不一致度と canonical 高さの関係は何か。この関係が有効な等分布結果をもたらすか。
• RQ5 heat kernel 近似 $\lambda_t$ の原点における挙動は何か。$j$-不変量を用いて一様に有界にできるか。

主な発見

• グローバル不一致度 $\mathcal{D}(Z)$ は $\mathcal{D}(Z) \leq \hat{h}(Z) + O(1)$ を満たし、明示的な定数を伴う。これにより、不一致度と canonical 高さの間の定量的関係が得られる。
• 任意の列 $\{P_n\}$ に対して $\hat{h}(P_n) \to 0$ ならば、Galois 共役測度 $\delta_n$ は Berkovich 解析的空間 $E_{\text{Berk},v}$ 上で弱収束し、canonical 測度 $\mu_v$ に収束する。これにより、アーチメデス的および非アーチメデス的両ケースで等分布が証明される。
• 不一致度-高さ不等式を用いて、Szpiro-Ullmo-Zhang の等分布定理の新しい初等的証明が得られる。
• $L$ が全実または全 $p$-進であるとき、$|E(L)_{\text{tor}}|$ の明示的上界と $\liminf_{P \in E(L)} \hat{h}(P)$ の下界が得られ、従来の定性的結果を改善する。
• $L$ が全実体の最大円分拡大体である場合にも同様の境界が成り立ち、この方法により明示的な定数が得られる。
• 任意の $0 < t \leq 1$ に対して、$\lambda_t(O) \leq \frac{1}{2}\log(1/t) + \frac{1}{12}\log^+|j_E| + 11/5$ が成り立つ。これは原点における不一致度を有界にする上で極めて重要である。