[論文レビュー] Global dynamics above the ground state energy for the combined power type nonlinear Schrodinger equations with energy critical growth at low frequencies

Takafumi Akahori, Slim Ibrahim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、低周波数におけるエネルギー臨界的成長を示す結合型べき乗非線形シュレーディンガー方程式の径対称解について、エネルギー臨界的領域における九集合分類を確立した。初期エネルギーと質量に応じて、解がグランドステートエネルギーよりわずかに高い領域に位置する場合、散乱、爆発、またはグランドステート軌道によるトラップのいずれかの九つの異なる長期的ダイナミクスを示すことを証明した。この結果は、ナカニシ＝シュラーの枠組みを結合非線形性を有するエネルギー臨界的領域へ拡張したものである。

ABSTRACT

We consider the nonlinear Schrodinger equations with combined type local interactions with energy critical growth, and we study the solutions slightly above the ground state threshold at low frequencies, so that we obtain a so called nine set theory developed by Nakanishi and Schlag.

研究の動機と目的

• 低周波数におけるグランドステートエネルギーベースラインよりわずかに高い領域に位置する径対称解のグローバルダイナミクスを分類すること。
• ナカニシとシュラーの九集合理論を、結合焦点的非線形性を有するエネルギー臨界的領域へ拡張すること。
• 低周波数における正の径対称グランドステートの存在と一意性を確立し、その質量-エネルギー挙動を分析すること。
• エネルギー空間内での異なる長期的挙動を分離するための閾値関数 $ \varepsilon_\omega(M) $ を構成すること。
• グローバル適解領域 $ \widehat{PW}_\omega $ に属する解が、正確に九つの可能な漸近的状況のうちの一つを示すことを証明すること。

提案手法

• 変分法を用いて、$ 0 < \omega < \omega_1 $ の範囲で、$ K(\Phi_\omega) = 0 $ を満たす正の径対称グランドステート $ \Phi_\omega $ の存在と一意性を証明すること。
• 作用関数 $ S_\omega = \omega M + H $ の構成と、$ I_\omega $ および $ J_\omega $ を用いた分解により、$ L^{p+1} $ および $ \dot{H}^1 $ のノルムを除去すること。
• 長時間摂動論理（補題 E.1）をエキゾチックなストリコフツォルトノルム $ \|\cdot\|_{ES} $ および $ \|\cdot\|_{ES^*} $ を用いて応用し、解のずれを制御すること。
• エキゾチックなストリコフツォルト推定（補題 E.2）および補間不等式（補題 E.3）を導入し、臨界正則性空間内の解ノルムを評価すること。
• 不安定モード理論（命題 4.1）および線形化作用素 $ L_\omega $ のスペクトル解析を用いて、グランドステート軌道付近のダイナミクスを分類すること。
• 閾値集合 $ \widehat{PW}_\omega $ を $ S_\omega(u) < m_\omega + \varepsilon_\omega(M(u)) $ として定義し、ここで $ \varepsilon_\omega $ は異なる長期的挙動を分離するように構成されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低周波数におけるエネルギー臨界的非線形性を有する結合型べき乗非線形シュレーディンガー方程式の径対称解について、初期データがグランドステートエネルギーベースラインよりわずかに高い領域にある場合、可能なグローバルダイナミクスは何か？
• RQ2 焦点的非線形性 $ |\psi|^{p-1}\psi $ と $ |\psi|^{4/(d-2)}\psi $ の相互作用が、グランドステート付近の解の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ3 ナカニシとシュラーの九集合理論は、結合非線形性を有するエネルギー臨界的領域へ拡張可能か？また、$ d $ および $ p $ に必要な条件は何か？
• RQ4 周波数 $ \omega $ は、グランドステートの質量 $ M(\Phi_\omega) $ の存在および単調性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 解が $ \widehat{PW}_\omega $ に属する場合、正確に九つの異なる漸近的挙動のうちの一つを示すように保証するため、閾値関数 $ \varepsilon_\omega(M) $ はどのように構成されるか？

主な発見

• $ d = 3 $、$ 3 \leq p < 5 $、または $ d \geq 4 $、$ 1 + \frac{4}{d-1} < p < 2^* - 1 $ の場合、ある $ \omega^* > 0 $ が存在し、すべての $ \omega \in (0, \omega^*) $ に対して九集合ダイナミクス分類が成り立つ。
• グランドステート $ \Phi_\omega $ は、$ 0 < \omega < \omega_1 $ の範囲で存在し、一意的で正であり、径対称的である。さらに $ \frac{d}{d\omega} M(\Phi_\omega) < 0 $ であり、$ \omega \to 0^+ $ のとき $ M(\Phi_\omega) \to \infty $ となる。
• $ \widehat{PW}_\omega $ に属する解は、$ S_\omega(u) < m_\omega + \varepsilon_\omega(M(u)) $ で定義され、正確に九つのグローバル挙動（散乱、爆発、または軌道 $ O(\Phi_\alpha) $ によるトラップ）のうちの一つを示す。これは前向きおよび／または後向き時間において成立する。
• 閾値関数 $ \varepsilon_\omega(M) $ は、証明（第3節）において明示的に構成されており、初期質量とエネルギーに応じたダイナミクスの分離を保証する。
• 二重臨界的ケース $ p = 1 + \frac{4}{d} $ では、スケーリング指数 $ s_p = 0 $ が消失し、主要な単調性性質が失敗するため、結果は妨げられる。
• 証明はエキゾチックなストリコフツォルト推定および、$ \|\psi - u\|_{V^{2+4/d} \cap W^{2^*}} $ および $ \|\langle \nabla \rangle (\psi - u)\|_{L^{2(d+2)/(d+4)}_{t,x}} $ を制御する洗練された摂動論理に依存している。