[論文レビュー] Global dynamics and spatio-temporal patterns of predator-prey systems with density-dependent motion

Hai‐Yang Jin, Zhi‐An Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、密度に依存する捕食者移動性と被捕食者への走性を有する2次元有界領域内の捕食者-被捕食者系を調査し、リャプノフ関数を用いて解の時間的有界性と定常状態の安定性を確立した。非線形安定性領域を越えて、被捕食者密度に依存する移動性が、時間周期的からカオス的まで多様な空間的・時間的パターンを引き起こすことが示され、生態系におけるパターン形成の主要なメカニズムであることが明らかになった。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the global boundedness, asymptotic stability and pattern formation of predator-prey systems with density-dependent preytaxis in a two-dimensional bounded domain with Neumann boundary conditions, where the coefficients of motility (diffusion) and mobility (preytaxis) of the predator are correlated through a prey density dependent motility function. We establish the existence of classical solutions with uniform-in time bound and the global stability of the spatially homogeneous prey-only steady states and coexistence steady states under certain conditions on parameters by constructing Lyapunov functionals. With numerical simulations, we further demonstrate that spatially homogeneous time-periodic patterns, stationary spatially inhomogeneous patterns and chaotic spatio-temporal patterns are all possible for the parameters outside the stability regime. We also find from numerical simulations that the temporal dynamics between linearized system and nonlinear systems are quite different, and the prey density-dependent motility function can trigger the pattern formation.

研究の動機と目的

• 密度に依存する捕食者移動性と被捕食者への走性を有する2次元捕食者-被捕食者系における古典的解の時間的全域有界性と漸近的安定性を分析すること。
• 被捕食者密度に依存する移動性関数が、線形安定性予測を超えて空間的パターン形成を引き起こす役割を調査すること。
• 線形化系と非線形系の時間的ダイナミクスを比較し、パターン出現における乖離を強調すること。
• 定数関数と非定数関数の異なる移動性関数が、空間的に不均一で、時間周期的またはカオス的な空間的・時間的パターンの出現に与える影響を調査すること。
• リャプノフ関数の構成を用いて、空間的に均一な定常状態および共存定常状態が全域安定となる条件を確立すること。

提案手法

• 捕食者移動性 $ d(v) $ と被捕食者走性 $ \nabla \to (u\chi(v)\nabla v) $ を有する反応拡散対流系を定式化し、両係数が被捕食者密度 $ v $ に依存することを前提とする。
• リャプノフ関数技術を適用して、古典的解の時間に依存しない有界性および空間的に均一な捕食者のみの定常状態と共存定常状態の全域的漸近的安定性を証明する。
• 定常状態まわりの線形安定性解析を実施し、ヤコビ行列の固有値解析を用いてホーフ分岐および定常状態分岐の条件を同定する。
• 有限差分スキームを用いた数値シミュレーションにより、非線形ダイナミクス（時間周期的、定常的不均一、カオス的空間的・時間的パターンなど）を探索する。
• 移動性関数 $ d(v) $ を変化させることで、具体的には $ d_1(v), d_2(v), d_3(v) $ を用い、パターン形成および分岐行動への影響をテストする。
• 線形化ダイナミクスと完全な非線形シミュレーションを比較し、大振幅領域では非線形性が支配的であり、線形予測が成立しないことを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動性関数 $ d(v) $ およびパラメータにどのような条件下で、古典的解は時間に一様に有界であり、空間的に均一な捕食者のみの定常状態または共存定常状態が全域的漸近的安定となるか？
• RQ2 被捕食者密度に依存する移動性 $ d(v) $ は、不均一な定常状態やカオス的空間的・時間的ダイナミクスなどの空間的パターンの出現にどのように影響を与えるか？
• RQ3 線形化解析が安定性を予測するが、非線形系が時間周期的またはカオス的パターンを示す場合、システム内の非線形性の役割は何か？
• RQ4 定数関数、2次関数、有理関数などの異なる関数形 $ d(v) $ は、捕食者-被捕食者系におけるパターンタイプ（周期的からカオス的へ）の遷移にどのように影響を与えるか？
• RQ5 密度依存運動が存在する場合、非線形系の数値的シミュレーションは、線形安定性解析の予測からどの程度逸脱するか？

主な発見

• 密度に依存する移動性と被捕食者走性を有する捕食者-被捕食者系の古典的解は、時間に一様に有界であり、有限時間での爆発が発生しないことを保証する。
• 特定のパrameter条件下では、空間的に均一な捕食者のみの定常状態および共存定常状態が、構築されたリャプノフ関数を用いて全域的漸近的安定であることが証明された。
• 数値的シミュレーションにより、パラメータが線形安定性領域外にある場合、システムは空間的に均一な時間周期的パターン、定常的不均一パターン、およびカオス的空間的・時間的パターンを示すことが明らかになった。
• $ d(v) = d_2(v) $ の場合、$ D < 49/19200 $ で定常状態分岐が発生し、空間的に不均一な定常的パターンが出現する。非定数 $ d(v) $ がパターン形成を引き起こすことを示している。
• $ d(v) = d_3(v) $ の場合、$ D = 1/10 $ でカオス的空間的・時間的パターンが出現するが、線形解析ではホーフ分岐が予測されるにもかかわらず、非線形効果が支配的であることが示された。
• 非線形系の時間的ダイナミクスは、線形化予測と顕著に異なる。特に振幅の増大とパターンの進化において、線形安定性解析だけではシステム全体の挙動を捉えきれないことが示された。