[論文レビュー] Global dynamics below the ground state for the quadratic Schödinger system in 5d

Masaru Hamano|arXiv (Cornell University)|May 30, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、基底状態エネルギーより低い状態における5次元二次非線形シュレーディンガー系のグローバルなダイナミクスを確立する。ケニグ＝マーレの集中・コンパクト性アプローチを用いて、基底状態未満の作用を持つ初期データに対して散乱を証明する一方で、負のエネルギーまたは有限分散を有するデータに対し、正のエネルギーが存在しても blow-up あるいは growing-up を確立する。

ABSTRACT

In this paper we consider the nonlinear Schrödinger system (NLS) with quadratic interaction in five dimensions. We determine the global behavior of the solutions to the system with data below the ground state. Our proof of the scattering result is based on an argument by Kenig Merle [16]. In particular, the new part of this paper is to deal with asymmetric interaction. A blowing up or growing up result is proved by combining the argument by Du Wu Zhang in [6] and a variational characterization of minimizers. Moreover, we show a blowing-up result if the data has finite variance or is radial.

研究の動機と目的

• 初期データが基底状態エネルギーより低い場合の5次元二次非線形シュレーディンガー系の解の長期的挙動を特定すること。
• 前記の blow-up 結果を、有限分散または回転対称性を有する正エネルギー初期データへ拡張すること。
• 非対称相互作用系において基底状態未満で散乱の二分岐を確立すること。
• 臨界解の存在を証明し、そのコンパクト性と剛性を示し、それによって散乱または blow-up を導くこと。
• 変分法および作用関数 Iω を用いて臨界挙動を特徴付けること。

提案手法

• 非対称相互作用を有する5次元二次NLS系にケニグ＝マーレの集中・コンパクト性法を適応する。
• 線形プロファイル分解および長時間摂動論を用いて、小規模データおよび漸近的挙動を扱う。
• 局所化されたバーリング恒等式および最小値の変分的特徴付けを用いて、blow-up または growing-up 挙動を分析する。
• 関数 Iω = ω/2 M(u,v) + 1/2 E(u,v) を用いて作用を定義し、基底状態値と比較する。
• Du-Wu-Zhang の blow-up 議論を、基底状態の変分的特徴付けと組み合わせ、有限分散または回転対称性の下で blow-up を証明する。
• 関数 Kω20,8(u,v) = 8K(u,v) - 20P(u,v) を用いて、二分岐分析のための重要な不等式を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが基底状態エネルギーより低い5次元二次NLS系の解のグローバルな挙動（散乱または blow-up）は何か？
• RQ2 有限分散データに対する blow-up 結果を、負エネルギーの場合に限らず、正エネルギー初期データへ拡張できるか？
• RQ3 散乱しないが時間的にグローバルに存在する解に対して、システムは growing-up 挙動を示すか？
• RQ4 回転対称性および有限分散が、正エネルギーを持つ解の blow-up を引き起こす役割を果たすか？
• RQ5 非対称相互作用構造は、対称系と比較して散乱と blow-up の二分岐にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 初期データが Iω(u0,v0) < Iω(φω,ψω) を満たす5次元二次NLS系の解は、両時間方向に散乱する。
• 初期データが有限分散かつ負エネルギーであれば、解は有限時間で blow-up する。これはHayashi-Ozawa-Tanakaの結果を正エネルギーの場合へ拡張する。
• 有限分散を有する回転対称初期データに対して、エネルギーが正であっても解は有限時間で blow-up する。
• 初期データが Iω(u0,v0) < Iω(φω,ψω) かつ M(u0,v0)K(u0,v0) < M(φ1,ψ1)K(φ1,ψ1) を満たすとき、すべての時間で M(u,v)K(u,v) < M(φ1,ψ1)K(φ1,ψ1) が成り立つ。
• E(u0,v0) ≤ 0 ならば、Kω20,8(u0,v0) < 0 かつ Iω(u0,v0) < Iω(φω,ψω) であり、有限分散または回転対称性の下で blow-up が成立する。