[論文レビュー] Global Dynamics for Newton and Planck

Alexander Vikman|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、トレース情報が失われるスケール不変なアインシュタイン方程式から生じる、ニュートン定数 $G_N$ とプランク定数 $\hbar$ がグローバルな動的自由度として現れるフレームワークを提案する。ヘネオ・タイベルのユニモジュラー重力の共変作用素を拡張することで、これらの定数に対するハイゼンベルクの不確定性関係を導出し、$G_N$ と $\hbar$ の量子揺らぎが有界であることを示し、量子重力および宇宙定数問題に及ぼす影響を論じる。

ABSTRACT

We discuss recently introduced scale-free Einstein equations, where the information from their trace part is lost. These equations are classically equivalent to General Relativity, yet the Newton constant becomes a constant of integration or a global dynamical degree of freedom. Thus, from the point of view of standard quantization, this effective Newton constant is susceptible to quantum fluctuations. This is similar to what happens to the cosmological constant in the unimodular gravity where the trace part of the Einstein equations is lost in a different way. Using analogy with the Henneaux-Teitelboim covariant action for the unimodular gravity, we consider different general-covariant actions resulting in these dynamics. This setup allows one to formulate the Heisenberg uncertainty relations for the Newton constant and canonically conjugated quantities. Unexpectedly, one of such theories also promotes the Planck's quantum constant to a global degree of freedom, which is subject to quantum fluctuations. Following analogy with the unimodular gravity, we discuss non-covariant "unimatter" and "unicurvature" gravities describing the scale-free Einstein equations. Finally, we show that in some limit of the Yang-Mills gauge theory a "frozen" axion-like field can emulate the gravitational Newton constant or even of the quantum Planck constant.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論とは異なり、ニュートン定数 $G_N$ が固定パラメータではなく、グローバルな動的自由度となるように重力を再定式化すること。
• この枠組みを拡張し、プランク定数 $\hbar$ を量子揺らぎの対象となるグローバルな動的変数として扱うこと。
• グローバル自由度の正準量子化を用いて、$G_N$ および $\hbar$ に対する量子不確定性関係を導出すること。
• これらの力学をヤンミルズ理論におけるアキソン型場に埋め込み、動的定数の場理論的実現を提供すること。
• 非共変な「ユニマター」および「ユニカーヴェチャー」重力モデルを通じて、量子宇宙論、特異点、および宇宙定数問題への影響を検討すること。

提案手法

• トレース情報を失うが一般相対性理論と古典的に同等となるスケール不変なアインシュタイン方程式（例：$G_{\mu\nu}/G = T_{\mu\nu}/T$）を定式化し、$G_N$ を積分定数として得る。
• ユニモジュラー重力のヘネオ・タイベルの共変作用素をテンプレートとして用い、$\Lambda$ や $G_N$ がグローバル自由度となる作用を構築する。
• 重力および物質に非最小に結合する凍結されたアキソン型場 $\nu$ および $\eta$ を導入し、$\nu^2$ が有効ニュートン定数 $G_N = 1/(8\pi\nu^2)$ を決定するとする。
• 閉じたゲージ場と凍結されたアキソン $\alpha$ を持つヤンミルズ型作用を構築し、結合 $\alpha/f_\alpha$ が宇宙定数を生成し、$\alpha$ が動的 $G_N$ の役割を果たすようにする。
• 宇宙時間 $\tau$ と $\varepsilon_\Lambda$ の正準共役対を導出し、不確定性関係 $\delta\varepsilon_\Lambda \cdot \delta\tau \geq \hbar/2$ を得る。これは $\delta\Lambda \cdot \delta\Omega \geq 4\pi \ell_{Pl}^2$ に一般化される。
• $G_N$ と $\hbar$ の両方を動的自由度として含める形式を拡張し、$\bar{\hbar} = \hbar M_m^2 / \eta^2$ とし、$\bar{\hbar}$ の量子揺らぎに関する不確定性関係を用いて境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般共変理論において、ニュートン定数 $G_N$ をグローバルな動的自由度に拡張することは可能か？
• RQ2 有効ニュートン定数 $G_N$ がグローバルな動的変数である場合、その量子揺らぎに下限は存在するか？
• RQ3 プランク定数 $\hbar$ も一貫性のある量子重力枠組みにおいて、グローバルな動的自由度として扱えるか？
• RQ4 このような動的定数は、アキソン型場を伴うヤンミルズ理論のような基本的な場理論的構成からどのように生じるか？
• RQ5 これらのグローバル自由度は、一般相対性理論における量子宇宙論および特異点にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• アインシュタイン方程式のトレースを無視することで、有効ニュートン定数 $G_N = 1/(8\pi\nu^2)$ がグローバルな動的自由度として現れ、スケール不変な力学が成立する。
• 量子揺らぎの下限として、$\delta G_N \gtrsim \frac{1}{8\pi} \frac{\hbar}{\nu^2 \delta \Omega}$ が導出され、ここで $\delta \Omega$ は時空体積の不確定性を表す。
• 第二のアキソン場 $\eta$ を用いてプランク定数 $\hbar$ を動的化でき、$\bar{\hbar} = \hbar M_m^2 / \eta^2$ とし、新たな不確定性関係 $\delta \bar{\hbar} \cdot \delta \eta \gtrsim \frac{\hbar M_m^2}{2\eta^2}$ を得る。
• 不確定性関係 $\delta \Lambda \cdot \delta \int d^4x \sqrt{-g} \geq 4\pi \ell_{Pl}^2$ が導出され、この枠組みでは宇宙定数の避けられない量子揺らぎが示される。
• 凍結されたアキソン $\alpha$ を持つヤンミルズ理論は、$G_N \propto \alpha^{-1}$ としてニュートン定数を模倣でき、強い結合の極限では $\bar{\hbar} \propto \alpha^{-1}$ としてプランク定数に対しても同様の振る舞いを示す。
• この構成により、自然に宇宙定数が出現し、重力への非最小結合が生じ、スフィフト対称性が破れ、真空エネルギーが安定化される。