[論文レビュー] Global Dynamics for Steep Sigmoidal Nonlinearities in Two Dimensions

Tomáš Gedeon, Shaun Harker+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、急峻なシグモイド非線形性を有する2次元常微分方程式のグローバルダイナミクスを、スイッチング系への近似によって数学的に厳密に分析するフレームワークを構築する。十分に急峻な非線形性に対しては、連続系のダイナミクスが、区分的定数スイッチング系から導かれるモース図に正確に反映されることを証明し、パラメータ空間全域におけるグローバルダイナミクス解析を可能にするとともに、摂動の明示的バウンドを提供する。

ABSTRACT

We introduce a novel approach to obtaining mathematically rigorous results on the global dynamics of ordinary differential equations. Motivated by models of regulatory networks, we construct a state transition graph from a piecewise affine ordinary differential equation. We use efficient graph algorithms to compute an associated Morse graph that codifies the recurrent and gradient-like dynamics. We prove that for 2-dimensional systems, the Morse graph defines a Morse decomposition for the dynamics of any smooth differential equation that is sufficiently close to the original piecewise affine ordinary differential equation.

研究の動機と目的

• 急峻なシグモイド非線形性を有する2次元ODEのグローバルダイナミクスを数学的に厳密に分析する手法を確立すること。
• 生物学的動機付けの連続系と計算的に取り扱いやすいスイッチング系の間のギャップを埋めること。
• 連続系と区分的定数モデルの間でダイナミクスを保存する摂動（δ*）の明示的バウンドを提供すること。
• 組合せ的ダイナミクスとモース図を用いて、レギュラトリーネットワークのパラメータ空間全域における効率的で効果的な解析を可能にすること。
• 本フレームワークを高次元系や一般の非線形性へ拡張する基盤を構築すること。

提案手法

• 急峻なシグモイド非線形性を区分的定数関数で近似し、ẋ = −Γx + Λ(x) の形のスイッチング系を構成する。
• スイッチング系に基づき、状態遷移図を多価な組合せ的写像 F: V ⇉ V として構築する。
• 再帰的ダイナミクスと非自明な強連結成分間の到達可能性を符号化するため、モース図 MG(F) を計算する。
• パラメータ空間の半代数的分解を用いて、F および MG(F) が一定である領域を分割する。
• δ-制約付き連続系のダイナミクスがスイッチング系のダイナミクスと一致するように、摂動のδ*バウンドを確立する。
• スイッチング系の計算ツールを活用し、ハイル係数が大きな連続系の解析を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 急峻なシグモイド非線形性を有する2次元ODEのグローバルダイナミクスは、スイッチング系によって数学的に厳密に捉えられるか？
• RQ2 δ-制約付き連続系のダイナミクスが関連スイッチング系のダイナミクスと一致する最大の摂動サイズδ*は何か？
• RQ3 スイッチング系のモース図は、リプシッツ非線形性を有する連続系のグローバルダイナミクスをどのように推論できるか？
• RQ4 元の系のパラメータ空間と、スイッチング系のダイナミクスが不変である半代数的領域との関係は何か？
• RQ5 本フレームワークは、スイッチング系による近似を通じて、任意のリプシッツ非線形性を有する連続系の解析に拡張可能か？

主な発見

• 急峻なシグモイド非線形性を有する2次元系において、連続ODEのグローバルダイナミクスは、関連スイッチング系のモース図によって数学的に厳密に捉えられる。
• パrameter Γ および Λ に基づき、δ* に対する明示的バウンドが導出され、δ-制約付き連続系がスイッチング系のダイナミクスを保持することを保証する。
• モース図 MG(F) は、半代数的分解を用いて、パラメータ空間全域における再帰的ダイナミクスと勾配的構造を完全に記述する。
• 本フレームワークは、複雑な非線形相互作用を有する系に対しても、大規模なパラメータ領域にわたり、効率的かつ数学的に厳密なグローバルダイナミクス解析を可能にする。
• 本手法は2段階戦略を支援する：まずスイッチング系を解析して関心領域を同定し、次に数値連続法を用いて生物学的関連のハイル係数におけるダイナミクスの持続性を検証する。
• 非線形性の形式の選択に強く依存しないという点でロバストである。非線形性が十分に急峻であれば、ハイル関数に限らず広範なモデルクラスに適用可能である。