[論文レビュー] Global Equilibria of Multi-leader Multi-follower Games

Ankur A. Kulkarni, Uday V. Shanbhag|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Economic theories and models参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、共有制約を有する修正されたマルチリーダーマルチフォロワー競争の定式化を提案し、これらの制約上でのポテンシャル関数のグローバル最小解が、修正されたゲームの均衡に一致することを示している。固定点理論を用いて存在性を確立し、局所最適性をナッシュ均衡と関連付けることで、乗数集合を用いた元のゲームの均衡の回復が可能になる。

ABSTRACT

Multi-leader multi-follower games are a class of hierarchical games in which a collection of leaders compete in a Nash game constrained by the equilibrium conditions of another Nash game amongst the followers. The resulting equilibrium problem with equilibrium constraints is complicated by nonconvex agent problems and therefore providing tractable conditions for existence of global or even local equilibria for it has proved challenging. Consequently, much of the extant research on this topic is either model specific or relies on weaker notions of equilibria. We consider a modified formulation in which every leader is cognizant of the equilibrium constraints of all leaders. Equilibria of this modified game contain the equilibria, if any, of the original game. The new formulation has a constraint structure called shared constraints, and our main result shows that if the leader objectives admit a potential function, the global minimizers of the potential function over the shared constraint are equilibria of the modified formulation. We provide another existence result using fixed point theory that does not require potentiality. Additionally, local minima, B-stationary, and strong-stationary points of this minimization are shown to be local Nash equilibria, Nash B-stationary, and Nash strong-stationary points of the corresponding multi-leader multi-follower game. We demonstrate the relationship between variational equilibria associated with this modified shared-constraint game and equilibria of the original game from the standpoint of the multiplier sets and show how equilibria of the original formulation may be recovered. We note through several examples that such potential multi-leader multi-follower games capture a breadth of application problems of interest and demonstrate our findings on a multi-leader multi-follower Cournot game.

研究の動機と目的

• 非凸性および解の存在条件が扱いにくいマルチリーダーマルチフォロワー競争（階層的均衡制約を伴う）における課題に対処すること。
• リーダーが他のすべてのリーダーの均衡制約を認識するように修正されたゲーム定式化を構築し、元のゲームの均衡が新しい解集合に含まれることを保証すること。
• ポテンシャル関数および固定点理論を用いて、グローバル均衡の存在の十分条件を確立すること。
• 再定式化された問題における局所最適性と、元のゲームにおける局所ナッシュ均衡、B-停留点、強い停留点との関連を示すこと。
• 共有制約に関連する乗数集合を用いた解析によって、元のゲームの均衡をどのように回復できるかを示すこと。

提案手法

• すべてのリーダーが他のすべてのリーダーの共有均衡制約を認識する修正されたマルチリーダーマルチフォロワー競争を導入し、共有制約構造を形成する。
• リーダーの目的関数がポテンシャル関数を有する場合、この関数の共有制約上でのグローバル最小解が、修正されたゲームの均衡に一致することを示す。
• ポテンシャル関数の条件を必要とせず、固定点理論を用いて均衡の存在性を確立する。
• ポテンシャル関数の最小化問題における局所最小解、B-停留点、強い停留点が、元のゲームにおける局所ナッシュ均衡、ナッシュB-停留点、ナッシュ強い停留点に対応することを証明する。
• 共有制約ゲームの変分的均衡と元のゲームの均衡との関係を、乗数集合の観点から分析する。
• 共有制約に関連する乗数集合の構造を解析することで、元のゲームの均衡を回復することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸なエージェント問題を伴うマルチリーダーマルチフォロワー競争において、グローバル均衡を保証する条件は何か？
• RQ2 共有制約定式化は、均衡制約を伴う階層的ゲームの取り扱いやすさと解構造をどのように改善するか？
• RQ3 修正された共有制約ゲームの変分的均衡と、元のマルチリーダーマルチフォロワー競争の均衡との関係は何か？
• RQ4 再定式化された問題における局所最適性条件は、元のゲームにおける意味のある均衡概念とどのように対応するか？
• RQ5 乗数集合の解析を用いて、元のゲームの均衡を修正された定式化から回復できるか？

主な発見

• 共有制約上でのポテンシャル関数のグローバル最小解は、修正されたマルチリーダーマルチフォロワー競争の均衡である。
• ポテンシャル関数の条件を必要とせず、固定点理論を用いて均衡の存在性が確立された。
• ポテンシャル関数最小化問題の局所最小解は、元のゲームにおける局所ナッシュ均衡である。
• ポテンシャル関数最小化問題のB-停留点および強い停留点は、元のゲームにおけるナッシュB-停留点および強い停留点に対応する。
• 共有制約ゲームの変分的均衡は、乗数集合の構造を通じて、元のゲームの均衡と関連づけられる。
• 関連する乗数集合の構造を解析することにより、元のゲームの均衡を修正された定式化から回復できる。