[論文レビュー] Global exact controllability in infinite time of Schrödinger equation: multidimensional case

Vahagn Nersesyan, Hayk Nersisyan|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、シュレーディンガー作用素の固有関数の有限線形結合の近傍において、多次元シュレーディンガー方程式の無限時間におけるグローバルな正確な可制御性を確立する。適切な関数空間 ${\cal H}$ を構築することで、非線形系の適切な定義と線形化系の可制御性を両立させ、著者らは逆写像定理を用いて $H^{3d}$ における正確な可制御性を証明する。高次元ではスペクトルの退化性のため、有限時間での可制御性は一般に不可能であることが示されている。

ABSTRACT

We prove that the multidimensional Schrödinger equation is exactly controllable in infinite time near any point which is a finite linear combination of eigenfunctions of the Schrödinger operator. We prove that, generically with respect to the potential, the linearized system is controllable in infinite time. Applying the inverse mapping theorem, we prove the controllability of the nonlinear system.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素の固有関数の有限線形結合の近傍における、多次元シュレーディンガー方程式の無限時間における正確な可制御性を確立すること。
• 高次元における正則性の損失の課題を解決すること。有限時間での可制御性は、スペクトルの退化性のため失敗する。
• 非線形シュレーディンガー方程式が適切に定義され、線形化系が可制御となる関数空間 ${\cal H}$ を構築すること。
• ビーチャールドとコロンの1次元可制御結果を、無限時間制御を用いて多次元設定に拡張すること。

提案手法

• 非線形シュレーディンガー方程式の適切な定義を保証するように、$H^{3d}$ を含むバナッハ空間 ${\cal H}$ を定義する。
• モーメント問題とスペクトル解析を用いて、固有関数軌道まわりの線形化系の無限時間における可制御性を証明する。
• 関数空間 ${\cal H}$ において、制御から状態への写像の微分可能性と逆写像の存在を示し、逆写像定理を適用する。
• 解作用素 $R_t$ 及びその極限 $R_\infty$ を用いて、$t \to \infty$ のときの系の挙動を分析し、${\cal H}$ 内での収束を保証する。
• 逆写像定理の適用を、${\cal H}$ における線形化の逆写像が必要な推移的推定を満たすように、間接的にナッシュ＝モーザー型の議論を用いる。
• 指数関数 $e^{i\omega_{mk}s}$ が $[0, \infty)$ 上で線形独立であるという事実を活用し、有限時間での障害にもかかわらず、無限時間での可制御性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー作用素の固有関数の有限線形結合の近傍において、多次元シュレーディンガー方程式は有限時間で正確に制御可能か？
• RQ2 なぜ $d \geq 3$ の次元では、スペクトル的性質のため、標準的な有限時間可制御アプローチが失敗するのか？
• RQ3 非線形シュレーディンガー方程式が適切に定義され、かつその線形化系が可制御となる関数空間は存在するか？
• RQ4 逆写像定理を用いて、非線形系の無限時間におけるグローバルな正確な可制御性を証明できるか？
• RQ5 無限時間フレームワークは、高次元における有限時間可制御性の喪失を防ぐために、どのようにして正則性の損失を克服するのか？

主な発見

• シュレーディンガー作用素の固有関数の任意の有限線形結合の近傍において、多次元シュレーディンガー方程式は無限時間においてグローバルに正確に可制御である。
• 可制御性は $H^{3d}$ 空間で達成され、これは非線形系の適切な定義を保証する十分に滑らかな空間である。
• 一般のポテンシャル $V$ に対して、線形化系は無限時間で可制御であり、これは $[0, \infty)$ 上での指数関数 $e^{i\omega_{mk}s}$ の独立性に起因する。
• 関数空間 ${\cal H}$ において逆写像定理が適用可能であり、正則性と可制御性の両立を図るために構築されたこの空間のおかげで、非線形可制御性の証明が可能になった。
• 高次元ではスペクトルギャップが存在せず、指数関数が線形従属であるため、$d \geq 3$ の次元では有限時間可制御性は一般に不可能である。
• 同じ条件下で、有限時間での正確な可制御性は期待できないため、本結果は最適である。